Что такое удивительное? Это случившееся маловероятное. А еще удивительным мы считаем то, что считаем маловероятным, а оно оказывается очень даже себе вероятным. И сегодня мы познакомимся с одним таким удивительным фактом.
Но для начала поговорим вот о чем. Очень часто вероятность интересующего нас события посчитать гораздо труднее, чем вероятность противоположного. Но мы знаем, что сумма вероятностей события и противоположного ему по определению равна 1! Например, я не могу определить вероятность того, что вы дочитаете эту публикацию до конца. Но сумма вероятностей того, что вы или дочитаете, или не дочитаете ее, равна 1. Подсчитав вероятность противоположного события, мы ее просто отнимаем от 1, и получаем искомую вероятность. Следует также принимать во внимание, что на всяких конкурсах, олимпиадах и экзаменах составители задач специально, чтобы затруднить решение, предлагают посчитать вероятность события, которую посчитать более сложно, чем вероятность противоположного.
Рассмотрим на примере простой задачи сформулированную выше идею. Она заключается в том, чтобы вместо вероятности заданного события можно посчитать вероятность противоположного ему, если это сделать проще.
Допустим, вы перешли в новую школу и приходите в первый раз в новый класс. В классе 23 человека. Вопрос: чему, хотя бы примерно, равна вероятность того, что в этом вашем новом классе есть два человека, у которых дни рождения совпадают?
На первый взгляд кажется, что вероятность этого мала. Всего 23 человека, в году 365 дней. Если случайно взять какого-то ученика, то вероятность того, что у какого-то другого ученика день рождения в этот же день, равна 1/365. Очень маленькая вероятность. Интуиция подсказывает, что в классе вряд ли будут ученики с днями рождения, приходящимися на один день года.
А вот и нет! Как это ни удивительно, ответ у этой задачи — примерно 1/2. То есть один шанс из двух. Сформулируем утверждение более формально: если имеется группа из 23 учеников, то вероятность того, что хотя бы у двоих из них день рождения приходится на один и тот же день в году, равна примерно 1/2.
Давайте разберемся, как посчитать эту вероятность.
Само событие, что хотя бы два ученика имеют день рождения в один день года, устроено сложно. Например, в один день может быть день рождения у двух учеников, а может быть и у трех. Или, например, у двоих в один день, а у других двоих в другой. Вариантов много. Поэтому мы не будем пытаться посчитать вероятность прямого события. Мы посчитаем вероятность противоположного события, которое выглядит так: какова вероятность того, что у всех учеников дни рождения приходятся на разные дни? А это совсем простая задача.
Начинаем считать. Берем первого, все равно кого. Неважно, когда у него день рождения. У второго день рождения должен быть в другой день, то есть вероятность, что его день рождения приходится на другой день, равна 364/365 — будем считать, что в году 365 дней, для простоты. Вероятность того, что у третьего ученика день рождения не совпадает ни с первым, ни с вторым, равна 363/365. И так далее. Для последнего, 23-го, вероятность того, что его день рождения не совпадает ни с одним из предыдущих, равна 343/365.
Здесь первая цифра, 1, относится к первому ученику, и я написал ее только для того, чтобы для каждого ученика был один сомножитель, всего их 23, по числу учеников. Я не буду приводить здесь расчетов, кому делать нечего, посчитайте сами.
То есть, если группа состоит из 23 учеников, вероятность того, что у всех у них дни рождения будут приходиться на разные дни, равна 0,493. Ну а вероятность противоположного события, то есть того, что хотя бы у двух учеников день рождения приходится на один и тот же день, равна
1 – 0,493 = 0,507.
Вполне себе удивительный факт, что для такой маленькой группы людей вероятность того, что хотя бы двое из них будут отмечать день рождения в один день, равна 1/2!
Это вторая публикация на тему теории вероятностей. Предыдущую публикацию, а также все другие публикации нашего канала можно почитать здесь. Среди них есть публикации, которые будут полезны школьникам при сдаче ЕГЭ. Речь там идет не об изучении материала, знание которого контролирует ЕГЭ — этого добра полно в сети. Речь о приемах, которые позволяют без проблем сдать ЕГЭ без всяких знаний! Такого не бывает, скажете вы? Бывает, приемы очень простые и проверенные на практике!
Подписывайтесь на канал, если не хотите пропустить наши следующие публикации.