В предыдущей публикации (Египетская сила!) мы говорили о том, что надо запомнить три картинки, и знать их как «Отче наш». Мы нарисовали первую из них — Египетский треугольник. Продолжим эту тему, и нарисуем две оставшиеся картинки.
Итак, вторая картинка, которую должен знать каждый — это треугольник, который получен делением квадрата пополам, по диагонали. Это прямоугольный треугольник, оба острых угла его равны 45°, и оба катета равны 1 (если сторона исходного квадрата равнялась 1).
Вопрос: чему равняется гипотенуза этого треугольника? Понятно, что она будет меньше 2 и больше 1. А чтобы узнать точно, надо применить теорему Пифагор, и мы получим, что длина гипотенузы равна √2, то есть она в √2 больше катета. Можно ли так говорить? Да, можно, фраза «в корень из двух раз больше» с математической точки зрения абсолютно корректна. Корень из 2 — это такое же число, как 2, 3, 5, 7, 2.5 и т. д. Правда, не следует щеголять такими «математическими» выражениями в компании, далекой от математики. Вас могут счесть снобом и задавакой.
И, наконец, третий треугольник, который нужно всем знать — это треугольник, который получится, если разделить пополам равносторонний треугольник. По высоте. Возьмем для удобства треугольник со стороной, равной 2. Тогда высота разделит сторону, на которую она опущена, на два отрезка длиной 1.
Ученик: а сам равносторонний треугольник нам не интересен?
Мы говорим не про красивые и особенные треугольники, а про треугольники, которые очень полезны при решении геометрических задач. Если вы видите, что треугольник представляет собой половинку квадрата, то вы сразу понимаете, что его гипотенуза в √2 больше, чем катет, и экономите время на вычислениях. Точно так же, если вы видите, что треугольник является половинкой равностороннего, то сразу понятно, каковы его стороны. Вот об этом мы сейчас и поговорим.
Возьмем прямоугольный треугольник с углами 60° и 30°. Если катет равен 1, то непонятно, чему равна гипотенуза. Но если мы достроим его до равностороннего, то станет ясно, что гипотенуза равна 2. Кто-то может сказать, что мы знаем теорему о том, что катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы, и из нее все вытекает. Но, во-первых, это теорема, во-вторых, не все ее помнят, а в третьих — я еще раз повторяю, что математика — это идеи и картинки, а не теоремы и формулы. Если вы представляете себе равносторонний треугольник, который разделили на две части, то теорема о катете, лежащем против угла в 30°, уже не нужна. По картинке сразу видно, что катет в два раза меньше гипотенузы.
И, наконец, второй катет треугольника равен √3. Это легко определить по теореме Пифагора:
1² + h² = 2²; h² = 3; h = √3;
Итак, мы запоминаем три треугольника:
1. Египетский, со сторонами 3, 4 и 5,
2. Прямоугольный с острыми углами по 45° и с равными катетами длиной по 1, гипотенуза его равна √2. Он образуется при делении квадрата пополам по диагонали.
3. Прямоугольный с углами 30° и 60°, с катетами 1 и √3, с гипотенузой 2. Он образуется при делении равностороннего треугольника пополам по высоте.
Очень полезно также знать приблизительное значение √2 и √3. Это может пригодиться и при оценке правильности полученного решения, и при сдаче ЕГЭ. Чему равно √2 приблизительно?
Ученик: примерно 1,41.
Да, √2 ≈ 1,41. Многие помнят это. А приближенное значение √3 — редко кто. Есть простой прием, с помощью которого можно определить приближенное значение √3, если вы знаете, что √2 = 1,41. Для этого нужно знать еще значение числа π ≈ 3,14. Но это знают практически все!
Оказывается, √2 + √3 = 3,14! Можно легко вычислить приближенное значение √3 = 3,14 – 1,41 = 2,73;
Более того, можно не помнить значений ни √2, ни √3. Достаточно знать значение π = 3,14 и помнить, что √2 чуть меньше, чем 1,5, а √3 чуть больше, чем 1,5, а в сумме они дают 3,14. Если вы сдаете ЕГЭ и вам потребуется знание приближенных значений корней, то вы сможете сами подобрать их значения. А значения √2 и √3 на ЕГЭ встречаются часто. Есть такие задачки, где надо упорядочить числа по величине, и знание приближенных значений корней очень даже может пригодиться. На экзамене, где вы не можете воспользоваться калькулятором, примерно представлять, чему они равны, может очень даже пригодиться.
Читателям: если у вас есть вопросы по теме или вы хотите поделиться своим мнением — пишите в комментариях!