{"draftJsState":{"blocks":[{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":9,"offset":32,"style":"BOLD"},{"length":4,"offset":45,"style":"BOLD"},{"length":16,"offset":104,"style":"BOLD"},{"length":1,"offset":171,"style":"BOLD"},{"length":4,"offset":390,"style":"BOLD"},{"length":2,"offset":441,"style":"BOLD"},{"length":1,"offset":532,"style":"BOLD"},{"length":10,"offset":542,"style":"BOLD"},{"length":5,"offset":553,"style":"BOLD"},{"length":1,"offset":567,"style":"BOLD"},{"length":18,"offset":584,"style":"BOLD"},{"length":2,"offset":39,"style":"ITALIC"},{"length":16,"offset":104,"style":"ITALIC"},{"length":18,"offset":584,"style":"ITALIC"}],"text":" Пусть имеется уравнение вида f(x)= 0, где f(x) — заданная алгебраическая или трансцендентная функция.Решить уравнение — значит найти все его корни, то есть те значения x, которые обращают уравнение в тождество. Если уравнение достаточно сложно, то задача точного определения корней является в некоторых случаях нерешаемой. Поэтому ставится задача найти такое приближенное значение корня x_пр, которое отличается от точного значения корня x* на величину, по модулю не превышающую указанной точности (малой положительной величины) ε, то есть│x* – x_пр │< ε.Величину ε также называют допустимой ошибкой, которую можно задать по своему усмотрению.","type":"unstyled","key":"5f7ne"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":48,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"Этапы приближенного решения нелинейных уравнений","type":"header-two","key":"7ohvu"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Приближенное решение уравнения состоит из двух этапов:","type":"unstyled","key":"2hqvm"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":4,"offset":79,"style":"BOLD"},{"length":6,"offset":145,"style":"BOLD"},{"length":1,"offset":82,"style":"ITALIC"}],"text":"Отделение корней, то есть нахождение интервалов из области определения функции f(x), в каждом из которых содержится только один корень уравнения f(x)=0.","type":"unordered-list-item","key":"f1g0b"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Уточнение корней до заданной точности.","type":"unordered-list-item","key":"1dti7"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":14,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"Метод бисекций","type":"header-three","key":"949pq"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":391,"offset":0,"style":"ITALIC"},{"length":6,"offset":28,"style":"BOLD"},{"length":6,"offset":43,"style":"BOLD"},{"length":11,"offset":102,"style":"BOLD"},{"length":6,"offset":209,"style":"BOLD"},{"length":7,"offset":278,"style":"BOLD"},{"length":6,"offset":342,"style":"BOLD"},{"length":6,"offset":384,"style":"BOLD"},{"length":31,"offset":102,"style":"UNDERLINE"}],"text":"Если непрерывная на отрезке [a, b] функция y=f(x) принимает на концах его противоположные знаки, т.е. f(a)f(b)<0 (условие сходимости), то внутри этого отрезка содержится, по меньшей мере один корень уравнения f(x)=0. Корень заведомо будет единственным, если производная функции y=f'(x) существует и сохраняет постоянный знак внутри интервала (a, b), т.е. функция монотонна на отрезке [a, b].","type":"blockquote","key":"2qbk5"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Метод половинного деления (бисекции) это один из простейших методов решения нелинейных уравнений. Приводим алгоритм и геометрическую интерпретацию (рис. 1) этого метода.","type":"unstyled","key":"dg522"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":25,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"Алгоритм метода бисекции:","type":"unstyled","key":"dq1mb"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":6,"offset":57,"style":"BOLD"},{"length":1,"offset":130,"style":"BOLD"}],"text":"Считаем, что отделение корней произведено и на интервале [a,b] расположен один корень, который необходимо уточнить с погрешностью ε. ","type":"unstyled","key":"diols"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":10,"offset":12,"style":"BOLD"},{"length":10,"offset":92,"style":"BOLD"},{"length":4,"offset":115,"style":"BOLD"}],"text":"Итак, имеем f(a)f(b)<0. Метод бисекции заключается в следующем. Определяем половину отрезка c=1/2(a+b) и вычисляем f(c). Проверяем следующие условия: ","type":"unstyled","key":"trnd"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":10,"offset":8,"style":"BOLD"},{"length":1,"offset":23,"style":"BOLD"},{"length":1,"offset":41,"style":"BOLD"}],"text":"1. Если |f(c)| < ε, то c – корень. Здесь ε - заданная точность. ","type":"unstyled","key":"8q423"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":10,"offset":8,"style":"BOLD"},{"length":6,"offset":48,"style":"BOLD"}],"text":"2. Если f(c)f(a)<0, то корень лежит в интервале [a, c]. ","type":"unstyled","key":"6k3q0"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":10,"offset":8,"style":"BOLD"},{"length":6,"offset":47,"style":"BOLD"}],"text":"3. Если f(c)f(b)<0, то корень лежит на отрезке [c, b]. ","type":"unstyled","key":"c465s"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":1,"offset":128,"style":"BOLD"}],"text":"Продолжая процесс половинного деления в выбранных подынтервалов, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень ξ. ","type":"unstyled","key":"4lg50"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Так как за каждую итерацию интервал, где расположен корень уменьшается в два раза, то через n итераций интервал будет равен: ","type":"unstyled","key":"65fgk"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":17,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"b_n-a_n=1/2n(b-a) ","type":"unstyled","key":"enmo4"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":1,"offset":17,"style":"BOLD"},{"length":12,"offset":28,"style":"BOLD"},{"length":14,"offset":89,"style":"BOLD"}],"text":"В качестве корня ξ. возьмем 1/2(a_n+b_n). Тогда погрешность определения корня будет равна (b_n – a_n)/2. ","type":"unstyled","key":"bh7ll"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":17,"offset":26,"style":"BOLD"},{"length":16,"offset":79,"style":"BOLD"}],"text":"Если выполняется условие: (b_n – a_n)/2 < ε, то процесс поиска заканчивается и ξ = 1/2(a_n+b_n). ","type":"unstyled","key":"9habe"},{"data":{"image":{"id":"5cd6fb2e02da9d00b3fc26ba"}},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Рис. 1. Графическая реализация метода бисекций ","type":"atomic:image","key":"ditp0"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":10,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"Метод хорд","type":"header-two","key":"evtvt"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":5,"offset":45,"style":"BOLD"},{"length":10,"offset":64,"style":"BOLD"},{"length":1,"offset":284,"style":"BOLD"}],"text":"Суть метода хорд состоит в разбиении отрезка [a,b] (при условии f(a)f(b)<0) на два отрезка с помощью хорды и выборе нового отрезка от точки пересечения хорды с осью абсцисс до неподвижной точки, на котором функция меняет знак и содержит решение, причём подвижная точка приближается к ε-окрестности решения.","type":"unstyled","key":"1p04"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":1,"offset":72,"style":"BOLD"}],"text":"Построение хорд продолжается до достижения необходимой точности решения ε.","type":"unstyled","key":"n21b"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":6,"offset":47,"style":"BOLD"},{"length":5,"offset":65,"style":"BOLD"},{"length":5,"offset":99,"style":"BOLD"},{"length":7,"offset":158,"style":"BOLD"},{"length":7,"offset":168,"style":"BOLD"}],"text":"Метод хорд применим для решения уравнения вида f(x)=0 на отрезке [a,b], если ни одна точка отрезка [a,b] не является ни стационарной, ни критической, то есть f’(x)≠0 и f\"(x)≠0.","type":"unstyled","key":"1j5dg"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":11,"offset":40,"style":"BOLD"}],"text":"Условие начальной точки для метода хорд f(x)f\"(x)<0.","type":"unstyled","key":"ee1ov"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":11,"offset":42,"style":"BOLD"}],"text":"Условие неподвижной точки для метода хорд f(x)f\"(x)>0.","type":"unstyled","key":"b2ct6"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":5,"offset":24,"style":"BOLD"},{"length":4,"offset":49,"style":"BOLD"},{"length":10,"offset":122,"style":"BOLD"}],"text":"Сначала находим отрезок [a,b] такой, что функция f(x) дважды непрерывно дифференцируема и меняет знак на отрезке, то есть f(a)f(b)<0. ","type":"unstyled","key":"95o0o"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Далее применяем алгоритм решения.","type":"unstyled","key":"2u1e"},{"data":{"image":{"id":"5cd6fb2eda97b800b482596b"}},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Формула 1\n","type":"atomic:image","key":"1ih6t"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":8,"offset":0,"style":"BOLD"},{"length":6,"offset":26,"style":"BOLD"},{"length":5,"offset":41,"style":"BOLD"},{"length":11,"offset":125,"style":"BOLD"},{"length":7,"offset":152,"style":"BOLD"},{"length":6,"offset":161,"style":"BOLD"},{"length":6,"offset":192,"style":"BOLD"},{"length":3,"offset":240,"style":"BOLD"},{"length":6,"offset":253,"style":"BOLD"},{"length":2,"offset":299,"style":"BOLD"},{"length":4,"offset":337,"style":"BOLD"},{"length":4,"offset":27,"style":"ITALIC"},{"length":1,"offset":41,"style":"ITALIC"},{"length":2,"offset":44,"style":"ITALIC"},{"length":2,"offset":152,"style":"ITALIC"},{"length":2,"offset":156,"style":"ITALIC"},{"length":2,"offset":161,"style":"ITALIC"},{"length":2,"offset":165,"style":"ITALIC"},{"length":4,"offset":193,"style":"ITALIC"},{"length":1,"offset":198,"style":"ITALIC"},{"length":2,"offset":240,"style":"ITALIC"},{"length":1,"offset":253,"style":"ITALIC"},{"length":2,"offset":255,"style":"ITALIC"},{"length":1,"offset":299,"style":"ITALIC"},{"length":3,"offset":388,"style":"ITALIC"}],"text":"Теорема. Пусть на отрезке [а; b] функция f (х) непрерывна вместе со своими производными второго порядка включительно, причем f(a)×f(b)<0, а производные f' (x) и f\" (х) сохраняют свои знаки на [а; b], тогда существует такая окружность корня х* уравнения f(x)=0, что для любого начального приближения х0 этой окружности последовательность {хk}, вычисленная по формуле (1), сходится к корню х*. ","type":"blockquote","key":"enli5"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":21,"offset":0,"style":"BOLD"},{"length":1,"offset":20,"style":"UNDERLINE"}],"text":"Алгоритм метода хорд:","type":"unstyled","key":"9u8a"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":4,"offset":0,"style":"ITALIC"},{"length":2,"offset":20,"style":"ITALIC"},{"length":10,"offset":28,"style":"ITALIC"},{"length":2,"offset":54,"style":"ITALIC"},{"length":13,"offset":5,"style":"BOLD"},{"length":3,"offset":23,"style":"BOLD"},{"length":13,"offset":39,"style":"BOLD"},{"length":3,"offset":57,"style":"BOLD"}],"text":"Если f(a)·f’’(a)>0, то c=a, иначе если f(b)·f’’(b)>0, то c=b.","type":"unordered-list-item","key":"5u9bm"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":4,"offset":0,"style":"ITALIC"},{"length":2,"offset":20,"style":"ITALIC"},{"length":10,"offset":28,"style":"ITALIC"},{"length":2,"offset":54,"style":"ITALIC"},{"length":13,"offset":5,"style":"BOLD"},{"length":3,"offset":23,"style":"BOLD"},{"length":13,"offset":39,"style":"BOLD"},{"length":3,"offset":57,"style":"BOLD"}],"text":"Если f(a)·f’’(a)<0, то x=a, иначе если f(b)·f’’(b)<0, то x=b.","type":"unordered-list-item","key":"2pleu"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":25,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"Δx=f(x)·(x-c)/(f(x)-f(c)).","type":"unordered-list-item","key":"cqdls"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":6,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"x=x-Δx.","type":"unordered-list-item","key":"e1pk4"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":4,"offset":0,"style":"ITALIC"},{"length":9,"offset":13,"style":"ITALIC"},{"length":6,"offset":5,"style":"BOLD"}],"text":"Если |Δx|>ε, то идти к 3.","type":"unordered-list-item","key":"6m21u"},{"data":{"image":{"id":"5cd6fb2e7a7fdb034966f280"}},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Рис.2. Графическая реализация метода хорд","type":"atomic:image","key":"1u8s3"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"","type":"marker","key":"jEmrMODAVPm3OQDWeSB7"}],"entityMap":{}},"mentions":[]}