Схема как исследовать функцию и построить график
- Найти область определения функции;
- Найти точки пересечения графика с координатными осями;
- Исследовать функцию на периодичность, четность и нечетность;
- Найти асимптоты функции;
- Найти интервалы монотонности, точки локальных экстремумов и значения функции в этих точках;
- Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба;
- Используя полученные результаты исследования построить график функции.
Пример
Монотонность
Функция называется монотонной на промежутке, если она на этом промежутке или возрастает, или убывает.
Функция называется возрастающей в промежутке (a; b), если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, то есть для любой пары x_1, x_2 принадлежащей промежутку (a, b) таких, что x_1 > x_2 справедливо неравенство f(x_1) > f(x_2).
Функция называется убывающей в промежутке (a; b), если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, то есть для любой пары x_1, x_2 принадлежащей промежутку (a, b) таких, что x_1 > x_2 справедливо неравенство f(x_1) < f(x_2).
Достаточное условие монотонности функции. Пусть функция f(x) определена и дифференцируема в промежутке (a; b). Для того чтобы функция была возрастающей в промежутке (a; b), достаточно чтобы f '(x) > 0 для всех x ∈ (a, b).Для убывания функции достаточно, чтобы f '(x) < 0 для всех x ∈ (a, b).Для исследования функции f(x) на монотонность необходимо:
- Найти производную f '(x).
- Найти критические точки функции как решения уравнения f '(x) = 0.
- Определить знак производной на каждом из промежутков, на которые критические точки разбивают область определения функции.
- Согласно достаточному условию монотонности функции определить промежутки возрастания и убывания.
Пример
Экстремумы
Экстремумами (максимумами и минимумами) функции называются значения функции в точках максимума и минимума.
Говорят, что в точке x_0 максимум (минимум), если существует такая δ-окрестность точки x_0 – (x_0 - δ, x_0 + δ), что для всех x из этой окрестности, отличных от x_0 выполняется неравенство f(x) < f(x_0) (f(x) > f(x_0)).
Точки максимума и минимума называются точками экстремума.
Точки области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками.
Необходимое условие существования экстремума функции. Пусть функция f(x) дифференцируема в промежутке (a, b). Если в некоторой точке x_0 ∈ (a, b) функция f(x) имеет экстремум, то в этой точке производная равна нулю: f '(x_0) = 0.Достаточное условие существования экстремума функции. Если производная функции f(x) равна нулю в точке x_0 и при переходе через эту точку в сторону возрастания x меняет знак с «+» («-») на «-» («+»), то в точке x_0 функция имеет максимум (минимум). Если же при переходе через точку x_0 производная функции не меняет знак, то в этой точке функция f(x) экстремума не имеет.Для исследования функции на экстремум необходимо:
- Найти критические точки функции.
- Проверить, изменяет ли знак производная функции при переходе через критическую точку.
- Вычислить значения максимума y_max или минимума y_min.
Пример
Выпуклость, вогнутость функции, точки перегиба
Кривая y=f(x) называется выпуклой вниз в промежутке (a; b), если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка.
Кривая y=f(x) называется выпуклой вверх в промежутке (a; b), если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.
Выпуклую вверх функцию часто называют выпуклой, а выпуклую вниз –вогнутой.
Промежутки, в которых график функции обращен выпуклостью вверх или вниз, называются промежутками выпуклости графика функции.
Выпуклость вниз или вверх кривой, являющейся графиком функции y=f(x), характеризуется знаком ее второй производной: если в некотором промежутке f’’(x) > 0, то кривая выпукла вниз на этом промежутке; если же f’’(x) < 0, то кривая выпукла вверх на этом промежутке.
Точка графика функции y=f(x), разделяющая промежутки выпуклости противоположных направлений этого графика, называется точкой перегиба.
Точками перегиба могут служить только критические точки II рода, т.е. точки, принадлежащие области определения функции y = f(x), в которых вторая производная f’’(x) обращается в нуль или терпит разрыв.Правило нахождения точек перегиба графика функции y = f(x):
- Найти вторую производную f’’(x).
- Найти критические точки II рода функции y=f(x), т.е. точки, в которой f’’(x) обращается в нуль или терпит разрыв.
- Исследовать знак второй производной f’’(x) в промежутка, на которые найденные критические точки делят область определения функции f(x). Если при этом критическая точка x_0 разделяет промежутки выпуклости противоположных направлений, то x_0 является абсциссой точки перегиба графика функции.
- Вычислить значения функции в точках перегиба.
Пример
Асимптоты
Асимптотой графика функции f(x) называется прямая такая, что расстояние от точки (x, f(x)) до этой прямой стремится к нулю при движении сколь угодно далеко от начала координат.
Асимптоты бывают двух видов: вертикальные и наклонные (в частности, горизонтальные).
Прямая x = a называется вертикальной асимптотой графика функции y = f(x), если хотя бы один из пределов (*) равен +∞ или -∞.
Вертикальные асимптоты ищут в точках разрыва функции.
Прямая y = kx + b называется наклонной асимптотой графика функции y = f(x), если существуют конечные пределы (**). Если при этом k=0, то y=b – горизонтальная асимптота.