Продолжаем разбираться, как, НИЧЕГО НЕ ЗНАЯ, решать задачи из раздела 12 ЕГЭ «Наибольшее и наименьшее значение функций». Начало разборок см. в предыдущей публикации. Мы учились находить наименьшее значение функции на заданном отрезке. В этот раз мы будет учиться определять точку минимума (максимума) функции.
Берём типовую задачу:
Найдите точку минимума функции y = x³ – 3x² + 2
Если просят найти точку минимума (максимума), то это означает, что надо найти точку, в которой функция принимает своё минимальное (максимальное) значение. То есть в ответе надо указать значение x, а не y. Это важно понимать!
В этой задаче промежуток, на котором искать точку минимума, не задан. Поэтому мы начнём с x = 0 и будем увеличивать значения х.
Для наглядности рисуем табличку для значений x и y и начинаем её заполнять. Преобразуем её к более удобному для вычислений виду: y = x²(x – 3) + 2
Значения функции сначала убывали, а при переходе к значению x = 3 начали возрастать. Значит, самое маленькое значение было при предыдущем значении x и равно -2. Но мы помним, что нам в ответе надо записать точку минимума, то есть значение х, при котором функция y принимает это минимальное значение. А это значение x = 2.
Задача решена! Ответ: 2
Вам не потребовалось даже вспоминать, что такое производная, а уж тем более её вычислять. При этом получен заведомо правильный ответ!
Если бы вы решали задачу через производную, то вполне могли бы ошибиться — даже чисто механически. На экзамене ученики от волнения часто просто случайно пропускают какую-то цифру, и получают неправильный ответ.
Но если вы просто последовательно перебираете значения x и не путаете точку минимума функции с минимальным её значением, то вы гарантированно получите правильный ответ. И ещё раз обращаю ваше внимание, что на это потребуется меньше времени, чем на вычисление производной и решение квадратного уравнения.
Если найдена точка, в которой значение функции меньше, чем в двух соседних (слева и справа) точках (имеются в виду целочисленные значения), то будьте уверены, что найден правильный ответ. На ЕГЭ не бывает «хитрых» функций, которые имеют несколько минимумов или максимумов.
Нужно не бояться решать задачи подбором! Почти все задачи из первой, тестовой части ЕГЭ, в которой требуется только ответ, решаются подбором — и без всяких проблем!
При решении можно было применить небольшую хитрость. Если нужно найти, в какой точке y принимает минимальное или максимальное значение, то константу, которая присутствует в выражении, можно отбросить. Она не влияет на то, где будет искомая точка. Эта постоянная величина влияет на значения y, но не влияет на то, при каком значении x получается это минимальное значение. Поэтому вместо исходной функции можно исследовать функцию y = x³ – 3x².
Мы решали Задание 12 № 77421 с сайта СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ.
Сравните наше решение и решение, приведенное на сайте. Какое проще?