В предыдущих двух публикациях, «ЕГИПЕТСКАЯ СИЛА!» и «СВЯТАЯ ТРЕУГОЛЬНАЯ ТРОИЦА», мы говорили о трёх треугольниках, которые должен знать в лицо каждый, кому приходится решать задачки по геометрии. Напомню, что это за треугольники, и что о них надо знать.
1. Египетский, прямоугольный, со сторонами 3, 4 и 5.
2. Прямоугольный с острыми углами по 45° и с равными катетами длиной по 1, гипотенуза его равна √2. Он образуется при делении квадрата пополам по диагонали.
3. Прямоугольный с углами 30° и 60°, с катетами 1 и √3, с гипотенузой 2. Он образуется при делении равностороннего треугольника пополам по высоте.
А теперь, вооружившись этой троицей, перейдём к задачам. Возьмём задачи по планиметрии из базового уровня прошлогоднего ЕГЭ. В задачах базового уровня требуется дать ответы без решений.
1. Задание 15 № 49539
Найдите сторону квадрата, диагональ которого равна 5√2.
Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике с острыми углами по 45° и с равными катетами длиной по 1, который образуется при делении квадрата на две половинки по гипотенузе, гипотенуза равна √2. То есть катет в √2 меньше, чем гипотенуза. А значит, что для этой задачи длина катета равна 5√2/√2 = 5.
Задача решена, ответ получен!
Или, допустим, если задано, что гипотенуза такого треугольника равна √8, то решение будет таким:
Конечно, эти задачи вполне можно решить по теореме Пифагора, и почти так же просто. Я специально выбрал очень простые задачи, для демонстрации подхода. Нужно научиться решать задачи самым простым способом — это непременное условие развития математического мышления. Надо сначала отработать базовые, простейшие элементы, что со временем позволит перейти к решению более сложных проблем. Сначала гаммы, а потом уже концерт для фортепиано с оркестром.
Можно сказать так: зачем нужна таблица умножения, если вместо умножения можно использовать сложение? Например, чтобы вычислить 6 · 8, можно просто сложить шесть раз восьмёрку. Но мы же этого не делаем? Так и здесь. Три прямоугольных треугольника, углы и соотношение сторон которых мы запоминаем — это таблица умножения для планиметрии.
Задание 15 № 27794
В треугольнике ABC AC = BC, AB = 4, высота CH равна 2√3. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.
Треугольник равнобедренный (AC = ВС), значит AH = HB = 4/2 = 2. Рассмотрим треугольник ACH.
Это прямоугольный треугольник, у которого один катет CH = 2√3, он в √3 раз больше второго катета AH = 2. А это значит, что наш прямоугольный треугольник ACH имеет углы в 60° (угол А) и 30° (угол С) и гипотенузу С = 4. А исходный треугольник ABC является равносторонним, и угол С равен 60°.
Все эти подробные рассуждения на самом деле не нужны, я привожу их только для пояснения. Если мы знаем в лицо прямоугольный треугольника с углами в 30 и 60° и помним, что у него один катет в √3 раз больше другого, то, как только мы прочитали условие задачи, мы сразу понимаем, что исходный треугольник ABC равносторонний, и угол С равен 60°.
Следующая серия наших публикаций будет посвящена теории вероятностей.