Практика. Математика. Производные по направлению.

Всех приветствую. Сегодня мы познакомимся с немало важной темой включающая в себя такие разделы как векторная алгебра и математический анализ. Данная практика является дополнением прошлой темы (ссылочка будет в конце урока) связанной с градиентом функции. Если связь будет неуловима мы всё распишем и разберёмся. Приступим к краткой теории.

Производная по направлению, хммм. Давайте подумаем логически, что мы можем найти с помощью производной. Всё правильно, можно найти интервалы возрастания и наибольшее значение функции. У нас идёт речь о "производной" следовательно она для функции берётся всего один раз и не более. У нас также сказано про направление, направление можно задавать на плоскости и в пространстве. Для плоскости определять направление возрастания можно, но не так интересно как для функций нескольких переменных и работать уже в пространстве. Этим мы сейчас и займёмся.

Запишем формулу для нахождения производной по направлению.

Осталось дописать, каким образом вычислять косинусы.

Теперь всё на месте. Надеюсь никто не забыл как находить модуль вектора.

С теорией закончим, пора приступить к самим заданиям.

Долго не задумываясь "зарешаем" простенький примерчик в качестве разминки.

Не, не, не капельки не сложно.

Мы с похожими заданиями уже сталкивались, алгоритм решения почти не отличается.

Вспоминаем как брать частные производные, подставили значения точки "М" в них, после нашли модуль вектора "l", по известным формулам вычислили направляющие косинусы и подставили всё в итоговую формулу.

Попытаем счастье с двумя переменными.

Функция интереснее.

Решение на много легче не стало из-за отсутствия одной переменной.

Не путаемся в производных, если совсем уж "туго" даётся, сделаем ещё разбор примеров на тему частных производных, пишите об этом в комментариях не стесняйтесь.

И наконец, то, чего все ждали, проведём связь между вычислением градиента и производной по направлению на примере задания.

Действуем в соответствии с алгоритмом.

Первым делом нужно найти градиент функции, как нашли, вычисляем модуль вектора "l" и работаем по старой схеме, ответ получился замудрённый, но это не должно нас смущать.

Подошла к концу наша практика, ознакомились с понятием производной по направлению, закрепили как всегда всё на примерах. Думаю вы заметили что вычисление производной по направлению является "продолжением" или говоря иначе "дополнением" при нахождении градиента функции, вот и всё. Спасибо за внимание.

Другие темы:

• Градиент функции.
• Частные производные.
• Неберущиеся интегралы.