В предыдущих двух публикациях (Пифагоровы шаровары и Пифагоровы штаны, шаровары — что дальше?) речь шла о теореме Пифагора, и было представлено очень красивое ее доказательство, не требующее никаких вычислений и сложных рассуждений. Кто-то может спросить: ну и зачем было искать еще одно доказательство, даже если оно красивое? Неужели недостаточно знать, что теорема верна? А для этого и одного, традиционного доказательства вполне достаточно.
Чтобы ответить на этот вопрос, придется вступить на зыбкую почву школьной математики. Рассмотрим такую теорему: в школе учат математике так, что большинство учеников ничего, кроме стресса, от занятий не получает. При этом речь не идет о том, чтобы выработать у детей правильное математическое мышление. Вместо этого детей пичкают большими объемами информации и задают задачи, которые далеко не все из них могут решить. Это приводит к тому, что дети математику не любят и изучать не хотят — и именно в этом заключается главная проблема школьной математики!
А ведь можно организовать занятия математикой совершенно по-другому. Например, можно устраивать конкурсы, в которых победителем будет не тот, кто решит задачу, а тот, кто решит ее красивее. Задача должна быть настолько простая, чтобы ее решили все. На дом тоже можно задавать задачи, решение которых будет доступно всем ученикам — а это значит, что они не будут бояться этих задач. Но опять-таки, домашнее задание нужно оценивать не по тому, решена или не решена задача, а по тому, насколько красиво решение. Кто красивее решит, тот и победил, у того и оценка выше. Надо вырабатывать у учеников привычку решать не просто как-нибудь, а красивее других.
Поверьте, если бы преподавание школьной математики основывалось на таких принципах, то все дети ее просто обожали бы. Ведь что значит красивее? На вкус и цвет товарища нет. Один считает, что у него красивее решение, а другому его собственное больше нравится. И все довольны и счастливы. И при этом все всегда решают простые задачи. Школьники, вместо того, чтобы биться головой о стенку из-за того, что они не могут решить сложную задачу, будут решать несложные задачи и состязаться в красоте решений.
Но все дело в том, что придумывать задачи, у которых имеются разные решения, одно красивее другого, тяжело. Это креативная задача. Учителей, которые умеют это делать, которые умеют играть с детьми в интересные математические игры, практически нет. Потому что самих учителей никто не научил красоте математики. А она есть, эта красота. Когда мы к какой-то общеизвестной задаче придумываем очень красивое решение, до которого раньше никто не додумался, которое настолько просто, что даже ничего решать не надо — все само получается и доказывается — то вот это и есть настоящая красота математики.
Рассмотренное в предыдущих публикациях доказательство теоремы Пифагора как раз эту цель и преследует. Я из тысяч других доказательств этой теоремы выбрал одно, которое мне нравится больше всего. Суть используемого в нем подхода заключается в том, что сначала доказывается, что если теорема верна для каких-то подобных фигур, то она верна и для любых других подобных фигур. Отсюда делается вывод, что раз все равно, какими будут эти подобные фигуры, то можно взять для доказательства самые простые фигуры — треугольники. И такой подход срабатывает как нельзя лучше!
Рассмотренное доказательство — это не просто еще одно доказательство, а красивое доказательство. Вот в чем смысл. В каком-то смысле оно красивее всех остальных. Несмотря на свою видимую очевидность, это доказательство очень не простое методологически. После анализа проблемы делается переход к синтезу и доказывается более общая теорема, при этом оказывается, что доказательство более общей теоремы проще доказательства частного случая с квадратами. Эта идея — доказывать более общие теоремы — достаточно радикальна, а потому ценна. Идея придумывать красивые и простые доказательства, которые одновременно являются и более общими, чрезвычайно плодотворна. Она позволяет, доказав общий случай, избежать необходимости доказательства большого количество частных случаев. Вот что такое красивые доказательства!
Приведенное доказательство вполне можно назвать «самое красивое доказательство теоремы Пифагора». В нем теорема Пифагора доказывается как часть другого, более общего утверждения про площади подобных фигур.
Возьмем две решенные в последнее время великие проблемы математики. Это великая теорема Ферма, которую доказал в 1994 году Эндрю Уальс, и гипотеза Пуанкаре, которую доказал Григорий Перельман в 2004 году. На самом деле оба математика решали не сами эти проблемы, а доказали более общие теоремы. Доказательство одного частного случая зачастую бывает сложнее, чем доказательство более общего утверждения, из которого этот частный случай непосредственно вытекает.
Вообще-то говоря, в этой публикации я говорю даже не про математику, а про то, как нужно изучать что-либо. Математика — это просто самый простой, можно сказать, модельный пример. Я считаю, что ровно так же надо учить и физику, и химию, и биологию, и историю. Не просто запоминать большие массивы фактов, а настраивать ассоциативные связи между различными идеями и данными. Чтобы в самых неожиданных ситуациях появлялись озарения — ага, это ведь вон на что похоже!
Многие гениальные математики, тот же Пуанкаре, например, умели из кучи разрозненных математических дисциплин сделать одну, которая их все объединяет. Или возьмем, например, Максвелла. Он же не сам придумал свои уравнения? Он просто в более общем виде записал некие частные случаи, которые были известны до него. И теперь «уравнения Максвелла» у всех на слуху, а авторы частных случаев этих уравнений никому не известны. Слава находит людей, которые уловили гармонию в разделах знания и объединили их виде какого-то одного объекта — в виде теории, формулы и т. д.
Возьмем того же Пифагора. И до Пифагора было известно, что утверждение, содержащееся в теореме Пифагора, верно для большого количества разных треугольников. А Пифагор увидел, что она верна для любых прямоугольных треугольников.
Или Виет — он придумал формулу для решения любых квадратных уравнений. Частные случаи квадратных уравнений умели решать и до него.
Люди, которые придумывают модели на все случаи жизни — вот они и остаются в истории.
На ваши вопросы в комментариях отвечает автор, Александр Коновалов