Мы не сдаём позиции и продолжаем разбирать интегралы, а точнее их подраздел - неберущиеся интегралы. Сегодня, вопреки интегралам мы столкнёмся ещё и с функциональными рядами. "Каким боком это относится к интегралам?" спросите вы. Долго не задерживаясь приступим к разъяснению.
Сама фраза "неберущийся" должна настораживать. Ведь не может быть, что мы не сможем найти значение площади под кривой, только из-за того, что вычислить интеграл невозможно. Данной проблеме было найдено решение в теории функциональных рядов. Что любую функцию можно представить в виде суммы простейших функций, при условии, что на бесконечном интервале сумма этих функций будет равна исходной. Разложение функции делается, как правило с использованием ряда Тейлора или Маклорена. Ничего нет идеального, мы об этом знает. Вот и в нашем случае вычисление интеграла получается "не идеальным", иначе говоря, мы можем вычислить не конечное значение, а лишь приближённое. Стало понятно, всё зависит от количества частичных сумм, которые мы возьмём из разложения подинтегральной функции. То есть, чем больше мы их возьмём, тем точнее значение площади. Общее представление мы получили, остаётся дело за малым, применить на практике.
Приведём таблицу разложений элементарных функций в ряд Тейлора.
Вот теперь, наконец можно приступить к разбору заданий.
Возьмём самый самый известный неберущийся интеграл, по совместительству первый замечательный предел (нет), по крайней мере функция та же.
Расправимся сейчас на раз два.
Оказалось всё не так уж и сложно. Рассмотрим ещё один известный интеграл. Не можем мы его пропустить однако.
Пределы интегрирования выбраны произвольно, но сути это не меняет.
И последний пример на сегодня. Встречайте...
Не будем затягивать, разделаемся с ним.
Вот и подошла к концу наша практика по неберущимся интегралам, как мы выяснили, не такие уж они и не неберущиеся. Разобрали несколько простейших примерчиков. Оставляйте в комментариях свои пожелания. Спасибо за внимание.
Другие темы: