Математика. Четыре основных класса функций.

Приветствую всех. Сегодня мы познакомимся с новой для нас темой под названием - классы функций. Сделаем краткий экскурс, разберёмся с новыми понятиями и посмотрим чем они отличаются. Классов функций то несколько, а мы одни и они все сразу на нас обвалились. "Но нас так просто не сломить, подходите по одному, будем разбираться".

Начнём с неприятных новостей. Классов функций в математике существует великое множество. Мы не будем хвататься за все прямо сейчас, всему своё время. На данный момент перед нами стоит задача рассмотреть основные разновидности. Перечислим их наконец...

1) Скалярная функция скалярного аргумента;

2) Скалярная функция векторного аргумента;

3) Векторная функция скалярного аргумента;

4) Векторная функция векторного аргумента.

Всего два непонятных слова (не для всех), ну что же. Определимся с элементарными словами, которые мы будем использовать, что они собственно значат.

• Скалярная величина - любая величина выраженная одним числом (значением).
• Векторная величина - любая величина выраженная при помощи нескольких чисел (значений).

Фух, разобрались. Теперь нужно узнать, чем отличается функция от аргумента.

Говоря не очень простым языком.

• Для каждого (а может и не для каждого) значения функции y(x) существует (может и не существовать) своё значение аргумента "x".

Упростим. Но для этого придётся привести каверзный пример.

Из этого примера видна суть самого определения, которые мы записали выше. Что для каждого значения функции существует своё значение аргумента. Мы подставляли вместо "х" произвольные числа и получали значение функции "y"." А почему пример каверзный?" - спросите вы. Дело в том что функция и аргумент в нашем примере равны. Отсюда и может получиться путаница. Подробнее об этом будет уже в другой статье.

График функции y(x)=x

Вроде бы всё разъяснили. Перейдём к самим классам.

1. Скалярная функция скалярного аргумента.

Видите такую запись, всё, значит перед вами скалярная функция скалярного аргумента. Вспоминая школу, то не трудно догадаться, что у нас отвечает за аргумент, а что, за функцию. Правильно вспоминаете, "E" определяет функцию, соответственно "D" аргумент. "R" без нижнего индекса определяет скаляр.

Заморачиваться с этим сильно не стоит, это же обычное обозначение. Нас больше интересует, как отличить эту функцию от другой.

Во первых. Функция называется с скалярной, если она представлена в виде обычной функции y=f(x), без единичных векторов, и без матрицы.

Во вторых. Аргумент называется скалярным, если в нашей функции присутствует только одна переменная, это может быть "х" или "y", или же "z". Но только одна!!!

То есть, наша функция y(x)=x, являлась скалярной функцией скалярного аргумента. Переменная одна это "х", вид стандартный для функции.

Приведём парочку примеров с такими функциями:

Можно сказать что все школьные примеры были скалярными функциями со скалярными аргументами.

В конечном итоге, вид функции:

2. Скалярная функция векторного аргумента.

Тут уже присутствует в индексе буковка "n", она определяет n-ое количество переменных.

Общий вид для функции:

И все комбинации переменных.

Примеры функций:

Векторный аргумент=несколько переменных.

3. Векторная функция скалярного аргумента.

Буковка "m", определяет векторную функцию.

Представлена может быть, как "крокозябра", либо с единичными векторами, но с одной переменной!!!

Общий вид:

Тяжело не узнать...

Примеры:

Хммм, всё понятно.

4. Векторная функция векторного аргумента.

Тут уже, и "m", и "n" имеются.

В последнем классе намешано почти всё что возможно.

Вид:

Просто несколько переменных.

Примеры:

Пока что только познакомились с новым понятием. В следующие разы будем применять их на практике, брать дифференциалы похожих функций. А на сегодня всё. Спасибо за внимание.

Другие темы:

• Раскрытие неопределённости (0/0).
• Градиент функции.
• Вычисление производных через lim.