Физические величины отличаются друг от друга не только смыслом, единицами измерения, но и размерностью.
Энергия и заряд характеризуются только величиной, а сила и скорость еще и направлением. Первые называются скалярными физическими величинами, вторые - векторными.
Программисты называют вектором упорядоченный набор чисел - массив. Откуда такое различие? Дело в том, что векторную величину можно представить набором чисел ЕСЛИ ЗАДАНА СИСТЕМА КООРДИНАТ. Проекции вектора на оси однозначно его определяют.
Когда мы описываем векторную величину в физике, система координат может быть задана неявно и даже неоднозначно. Например: "Земля притягивает Луну с силой, направленной по линии, соединяющей их центры". Если же мы хотим описать вектор тремя числами, нам придется точно описать направления осей системы координат.
Над векторными величинами можно совершать различные математические операции. Сложение и вычитание несложны и наглядны. Тут почти не бывает ошибок как в графическом, так и в числовом представлении. Хуже с умножением. Их целых три вида.
Умножение вектора на скаляр. Вектор просто изменяет свою длину т.к. все его проекции умножаются на одно и то же число.
Скалярное умножение векторов. Формулу можно посмотреть в справочнике, нас же интересует физический смысл. Самый простой пример - работа. Скалярная величина, равная произведению двух векторных: силы и перемещения. Если тело перемещается по направляющим, то работу совершает только та ее составляющая, которая направлена вдоль направляющей. Отсюда в формуле косинус угла между векторами.
Векторное умножение векторов. Самое трудное для осознания. Из школы помним какое-то правило буравчика, но ясного представления у большинства нет. Для начала разберемся , как с помощью вектора описать вращение. У вращения есть одно специфическое направление - ось. Вот вдоль нее и направлены вектора всех характеризующих его величин: угол поворота, угловая скорость, угловое ускорение и т.д.. Теперь попробуем вызвать вращения тела вокруг заданной оси. Пусть это будет гайка на шпильке. Мы берем гаечный ключ... Зачем? Чтобы получить рычаг. Заметим, перпендикулярный оси. И давим на конец рычага... перпендикулярно рычагу и оси вращения. Все остальные составляющие приложенной силы нам нисколько не помогут.
Сила векторно умножается на плечо (оно же векторно описанная длина рычага) и получается момент силы вектор направленный вдоль оси вращения и это самое вращение вызывающий.
Специально привел в качестве примера работу и момент силы. В качестве размерности и там и там указывают ньютонометры. Но это разные физические величины и ньютонометры у них разные. У работы скалярные, а у момента силы - векторные.
А теперь вспомним Азимова: "Число два не имеет физического смысла" . Если существуют два варианта чего-то, значит есть и другие.
Кроме скалярных и векторных величин, существуют и более сложные физические величины. Как правило они связаны с объектами, имеющими анизотропию - неодинаковые свойства по разным направлениям. Например кристаллы. Давим на кристалл с некоторой силой. Его деформация будет описываться вектором, не совпадающим по направлению с действующей силой. Как описать это свойство ? Внешнее усилие по каждой оси приводит к разной деформации по всем осям.
Величина, характеризующая зависимость деформации кристалла от внешней нагрузки будет тензором. В отличии от вектора, который можно наглядно представить некоторой стрелочкой в пространстве, тензор плохо поддается визуальному представлению. Зато в конкретной системе координат представляется достаточно просто - матрицей. Умножение вектора и тензора дает вектор.
Тензорные величины широко используются в теории упругости, кристаллографии, электромеханике, гидродинамике.
А как же Азимов? Чем число три лучше числа два?
То, что мы называем тензорами, официально именуется тензорами второго порядка. Они описываются двумерной матрицей. Тогда скаляр будет тензором нулевого ранга, а вектор - первого. Тут-то и открывается бесконечный простор для тензоров n-го ранга, описываемых многомерными матрицами. Просто в физике они крайне редко используются в связи с недостаточной наглядностью.