Юрий Богатырев сначала не планировал становиться актером. В 1965 году он поступил в художественно-промышленное училище на специальность "Художник по коврам".
Но во время учебы стал заниматься в кукольном театре-студии Глобус, и вскоре понял, что актерство - это его призвание. Поступил в Щукинское училище, а уже через год дебютировал в фильме Никиты Михалкова "Спокойный день в конце войны". Ну а для Михалкова Богатырев становится одним из любимых актеров.
Осознав свою нетрадиционную ориентацию, он очень страдал. Это была личная драма актера. Александр Адабашьян вспоминает: «Свою «непохожесть» Юра переживал очень болезненно, в отличие от нынешних звезд, которые этим даже бравируют..." Алкоголем пытался заглушить свои душевные муки. Своими переживаниями делился в основном с женщинами - Натальей Гундаревой, Ией Савиной, Еленой Соловей - они были для актера настоящими подругами.
В какой-то период у него в квартире поселился администратор МХАТа Василий Росляков. Они особо уже и не скрывали характер своих отношений.После размолвки они расстались и Росляков очень долго переживал, у себя в доме повесил на самое видное место портрет Юрия. Затем появился некий бармен Саша Ефимов. Богатырев был фиктивно женат, чтобы помочь актрисе Театра на Таганке Надежде Серой с пропиской.
Об алкогольной зависимости знали в окружении актера. Артист Михаил Светин так вспоминал о съемках телефильма: "Дон Сезар" мне запомнился тем, что Юра на съемках страшно пил. Он пил лак, не брезговал лосьонами на спирту. Играл совершенно пьяным. Гениальный актер! Как ему удавалось выглядеть трезвым на экране?» Периодически лежал в стационарах после своих запоев.
Долгое время актер дружил с журналисткой и переводчицей Клариссой Столяровой.
По утверждению женщины, их дружеские отношения в конце концов начали перерождаться в романтические, хотя возможно ей хотелось так думать. Сейчас она очень сожалеет, что они так внезапно и трагически оборвались. В конце восьмидесятых врачи назначают ему антидепресанты, несочитаемые с алкоголем. Ситуацию усугубило то, что приехавшие по вызову врачи, поставили ему препарат, который также несочетаем с такими препаратами. Именно это и становится причиной ранней гибели актера в возрасте всего 42 года.