Давным-давно вычитал в какой-то книжке эту шутку, и очень она мне понравилась. Кстати, в книжке было указано, что автор этого "доказательства" - небезызвестный Чарльз Лютвидж Доджсон, чему удивляться не приходится, поскольку, как известно, он был тот ещё затейник.
Итак, пусть у нас есть квадрат ABCD. Восстановим серединный перпендикуляр к стороне BC. Затем (это, пожалуй, единственный не формализованный момент) проведём из точки C отрезок CB', равный стороне квадрата, чуть-чуть вбок от стороны CB. Соединим точки A и B' отрезком, и к нему тоже построим серединный перпендикуляр. Оба этих серединных перпендикуляра пересекутся в какой-нибудь точке O. Наконец, соединим эту точку O с вершинами квадрата и задумаемся.
Итак, что у нас есть? Есть CB = AD - потому что это квадрат, и CB = CB' - по построению. Есть равнобедренный треугольник AB'O, поэтому AO = B'O. Есть, наконец, треугольник DCO - тоже равнобедренный, поэтому DO = CO. Получаем, что треугольники ADO и B'CO равны, поскольку их стороны равны. Следовательно, угол ADO равен углу B'CO, и, соответственно, угол B'CD - прямой.
В книжке, кстати, на этом поучительном примере демонстрировалось, к какому абсурду может привести небрежность в доказательствах.