Все, кто учился в школе и не прогуливал математику, помнят фразу «Пифагоровы штаны на все стороны равны». Для тех, кто не помнит, при чем здесь штаны, напоминаю, что в классической формулировке теоремы Пифагора фигурируют квадраты, построенные на сторонах прямоугольного треугольника. Вот они-то и есть штаны.
Нарисуем всем известную картинку, иллюстрирующую теорему Пифагора. Имеется прямоугольный треугольник с гипотенузой с и катетами a и b. Теорема Пифагора утверждает, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе этого треугольника, равняется сумме площадей квадратов, построенных на катетах. Алгебраическая запись теоремы Пифагора — это всем известное выражение с ² = a ² + b ².
А теперь зададим себе вопрос: только ли для квадратов верна теорема Пифагора? Или же она будет тоже верна для каких-то других фигур, построенных на катетах прямоугольного треугольника abc?
Полагаете, глупый вопрос? Ничуть. В математике частенько казалось бы глупые вопросы оказываются очень даже неглупыми и важными. Я уже говорил, что в математике самое главное — идеи и картинки, а вовсе даже не формулы и теоремы. Но есть исключения. Формула, выражающая теорему Пифагора, т.е. с ² = a ² + b ², является одним из исключений. Есть, скажем, примерно пять формул, которые знать надо. Все остальные формулы знать не обязательно.
Заменим в теореме Пифагора квадраты на прямоугольники и посмотрим, будет ли она верна для этого случая. Возьмем прямоугольники, состоящие из двух квадратов. То есть с соотношением сторон 2:1. Нарисуем, что у нас получилось.
Из рисунка без особых доказательств (естественно, если мы принимаем верность теоремы Пифагора для квадратов) видно, что площадь большого прямоугольника, построенного на гипотенузе, будет равно сумме площадей маленьких прямоугольников, построенных на катетах нашего исходного прямоугольного треугольника.
И вот у нас появляется очень важная идея о том, что теорема Пифагора верна не только для квадратов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника, а и для других фигур, которые подобны друг другу.
Ученик: а что означает «подобны»?
Хороший вопрос. Фигуры подобны — это значит, что они имеют абсолютно одинаковую форму, отличаются только размерами. Один из самых главных вопросов математики, который нужно все время себе задавать при решении любых математических вопросов — это «во сколько раз больше?». На последнем нашем рисунке большой прямоугольник в два раза больше, чем соответствующий квадрат, построенный на гипотенузе. По площади, разумеется. Площадь квадрата с ² , а прямоугольника 2с ². Это же верно и для прямоугольников, построенных на катетах a и b. То есть получается: если мы увеличим фигуры, построенные на сторонах нашего треугольника, в одно и то же число раз, то соотношение площадей сохранится — а значит, площадь фигуры, построенной на гипотенузе прямоугольного треугольника, будет равна сумме площадей фигур, построенных на его катетах.
Теперь настало время поговорить о математических шароварах. Чем они отличаются от штанов? Скажем так: примерно тем же, чем круг отличается от квадрата. Нарисуем наш прямоугольный треугольник, но заменим квадраты на полукруги. Ну и квадраты для полноты картины там же нарисуем.
Мы уже понимаем, что для подобных прямоугольников теорема Пифагора верна. А для полукругов?
Сначала ответим на вопрос: во сколько раз площадь полукруга отличается от площади квадрата? Давайте это отношение площади полукруга к площади квадрата, на стороне которого построен этот полукруг, обозначим буквой k . Тогда получим формулу: Sкруга = k · Sквадрата , причем для всех трех квадратов число к будет одним и тем же. То есть число, показывающее, какую часть квадрата составляет полукруг, построенный на его стороне, для всех квадратов будет одинаковым.
Теперь берем формулу теоремы Пифагора
с ² = a ² + b ²
и обе ее части умножаем на К. У нас получится:
k · c ² = k · a ² + k · b ² или
Sс = Sa + Sb — площадь полукруга, построенного на стороне c, равна сумме площадей полукругов, построенных на сторонах a и b.
А это и означает, что теорема Пифагора для полукругов выполняется. И мы пришли к выводу, что в теореме Пифагора слово «штаны» можно запросто заменить словом «шаровары».
В следующей публикации я расскажу, как, используя эту идею, можно придумать доказательство теоремы Пифагора, которое не требует вообще никаких вычислений. Обычно теорему Пифагора доказывают так: режут квадраты на какие-то кусочки, затем эти кусочки как-то составляются и становится понятно, что сумма большого квадрата равняется сумме двух маленьких. Но это доказательство годится только для квадратов. Если мы воспользуемся идеей, что теорема Пифагора одновременно верна или неверна для любых подобных фигур — то есть таких, которые отличаются только размером, а форма их одинакова — то из этой идеи можно будет получить доказательство теоремы Пифагора в один ход, без вычислений вообще. А напоследок еще раз напоминаю, что в математике самое главное — картинки и идеи, а не теоремы и формулы. Но теорема Пифагора — одно из немногих исключений.