Сегодня мы поговорим о науке геометрии. Ее все любят, но боятся, потому что в ней непонятно, как додумываться до правильных решений.
Задача. Имеется прямоугольник со сторонами 2 и 3. Чему равняется площадь такого прямоугольника?
Ученик: 3 * 2 = 6.
Правильно. Мы можем посчитать по формуле, а можем просто нарисовать прямоугольник, разрезать его на клеточки, и посчитать количество единичных клеточек. Их будет шесть.
Теперь следующий вопрос, опять же по геометрии. Если мы возьмем и каждую сторону прямоугольника увеличим в два раза, то во сколько раз увеличится площадь?
Ученик: в 4 раза.
Вопрос: почему? Почему не в два раза?
Ученик: потому, что исходный прямоугольник занимает ровно четвертую часть конечного. Нарисуем картинку. Рисуем прямоугольник. Затем продолжим две его смежные стороны за пределы прямоугольника, увеличим их в два раза, и нарисуем новый большой прямоугольник. В нем помещается ровно четыре исходных прямоугольника.
Другое решение — взять формулу площади прямоугольника, S = a*b, и в случае увеличения каждой из сторон в два раза получим a*2*b*2 = 4ab, то есть 4S.
Да, правильно. То есть задачу можно решить двумя способам. Только не обязательно рисовать прямоугольник 3 на 2. Достаточно будет нарисовать квадратик размерами 2 х 2, а внутри него квадратик 1 х 1, в уголочке.
Тогда видно, что каждая сторона увеличилась в два раза, а площадь из одной клеточки стала четыре клеточки, то есть увеличилась в четыре раза.
Ну, или можно решить задачу по формуле, ответ будет такой же. Еще раз обращаю внимание, эту геометрическую задачу, так же как и алгебраическую про Васю и Свету, рассмотренную в предыдущей публикации, можно решить или по картинке, или по формуле.
Ученик. Начинаю понимать, как задачку на сложение дробей решить с помощью картинки. Нужно взять, например, круг, разделить его пополам по диаметру. Нет, не так. Сначала на три части, радиусами, потом его же пополам, по одному из радиусов, и затем сложить половину круга и его треть, как пазл. Сразу будет виден ответ — 5/6. Главное, разделить третью часть пополам, чтобы понятно было, что в шестых долях ответ будет.
Итак, небольшое резюме. В математике задачи можно решать без всяких формул — надо просто к задаче придумать правильную картинку, в которой ответ будет виден без всяких формул. Так было в задаче про прямоугольники. У нас был маленький прямоугольник, а в большом прямоугольнике таких маленьких содержалось 4 штуки. Про Васю и Свету мы рисовали картинку, и у нас сразу получился ответ.
Основная идея: математика — это идеи и картинки, а вовсе не формулы и теоремы. Хотя, конечно, знать формулы и теоремы не вредно.
Ученик: если сравнить то, что мы изучали на этих двух первых уроках, с другими предметами, например, с иностранным языком, то что мы начали учить? Алфавит или первые слова?
Вот какая ассоциация приходит в голову. Самые эффективные программы по обучение десятипальцевой слепой печати начинаются с того, что ученик учится нажимать две буквы, например, А и О, причем пальцы должны научиться попадать на них вслепую, безошибочно и на большой скорости. Потом добавляются еще две буквы, потом еще и еще. Вместо одной сложной задачи — научиться вслепую печатать весь алфавит в произвольном порядке — ученик учится печатать маленькое количество букв (начиная с двух) в любом порядке, сразу на большой, конечной скорости. Количество используемых букв постепенно увеличивается, пока ученик не будет владеть всей клавиатурой. Он не учится печатать все буквы алфавита сначала медленно, а потом быстрее и быстрее. Он учится печатать на одной и той же скорости, и потихоньку добавляет количество букв.
Так же и мы не будем учить сразу всю математику и добиваться сначала «удовлетворительных» знаний, потом подтягиваться до оценки «хорошо», а потом, возможно, и до «отлично». Знание любой темы, которую мы изучаем, мы сразу доводим до самого высокого уровня — мы будем знать ее лучше всех! Никаких полутонов! Никаких знаний «на троечку»!
Мы — отличники!