Найти тему
Vseznayka
368 подписчиков

Практика. Математика. Пределы (lim). Первый замечательный предел.

725
1 мин

Сегодня мы подошли к самому "замечательному" в теории пределов, а точнее к первому замечательному пределу. Зная только его, на экзамене есть шансы выбить троечку (но это не точно). На самом деле первый замечательный очень полезная "штука", он так сказать основа или фундамент всей теории пределов. Применять крайне просто на практике, а заметить ещё проще. Поскорее приступим к самой практике, чтобы убедиться во всём сказанном. Но перед практикой набросаем краткую теорию.

Первым делом установим наглядное представление.

Математическая запись первого замечательного предела.
Математическая запись первого замечательного предела.

С его помощью мы устраняем неопределённость вида (0/0). И как всегда вместо икса у нас может быть любая функция, подставив вместо которой ноль мы получаем неопределённость. Не стоит забывать что у нашего предела есть следствия, которые прям так и называются "следствия первого замечательного предела".

-2

Тут далеко не все следствия, ведь полный список можно привести используя таблицу эквивалентных бесконечно малых функций. Попробуйте сделать это самостоятельно, не всё так сложно как кажется.

Рассмотрим простенький примерчик для ознакомления.

Хитро, скажете вы. Да, хитро, отвечу я.
Хитро, скажете вы. Да, хитро, отвечу я.

Пути решения - два, они друг другу "эквивалентны", сейчас увидите почему.

Первый способ:

Всеми любимый тангенс получили, далее нужно было знаменатель подвести к виду аргумента у тангенса, вот по этому мы наш "икс" в знаменателе домножили на тройку и разделили, дальше воспользовались следствием первого замечательного и получили ответ.
Всеми любимый тангенс получили, далее нужно было знаменатель подвести к виду аргумента у тангенса, вот по этому мы наш "икс" в знаменателе домножили на тройку и разделили, дальше воспользовались следствием первого замечательного и получили ответ.

Второй способ:

Тут пошли без преобразований, сразу "икс" в знаменателе умножили на тройку и поделили, использовали первый замечательный, осталось разобраться с косинусом, просто его устремляем к нулю и получаем ответ тот же что и в прошлом решении.
Тут пошли без преобразований, сразу "икс" в знаменателе умножили на тройку и поделили, использовали первый замечательный, осталось разобраться с косинусом, просто его устремляем к нулю и получаем ответ тот же что и в прошлом решении.

Как мы все увидели, оба решения эквивалентны, то есть похожи друг на друга. Такое бывает не часто, как правило у каждого примера имеется "n-ое" количество решений, только не каждое возможно разглядеть. Перейдём к следующему.

Где здесь первый замечательный можно найти? Спросите вы. А вот сейчас и посмотрим.
Где здесь первый замечательный можно найти? Спросите вы. А вот сейчас и посмотрим.
Мы просто сделали те же самые действия что и в прошлом примере, добавили в знаменателе числителя "4x" и в знаменателе знаменателя "3x" и вынесли 4/3. Теперь всё подведено к нужному виду, получаем ответ 4/3.
Мы просто сделали те же самые действия что и в прошлом примере, добавили в знаменателе числителя "4x" и в знаменателе знаменателя "3x" и вынесли 4/3. Теперь всё подведено к нужному виду, получаем ответ 4/3.

Пока вроде как с горем пополам всё ясно. Нужно рассмотреть ещё один примерчик.

Первым делом замечаем, что в числителе у нас основная формула тригонометрии, заменяем, видим что в знаменателе котангенс, расписываем и его, отлично, косинусы сокращаются, но остался синус в квадрате, расписываем его через произведение двух синусов, в знаменателе присутствует "икс", выполняем отработанные ранее действия, не плохо, получили первый замечательный, заменяем на единицу, остался один синус, устремляем его к нулю и получаем в ответе ноль.
Первым делом замечаем, что в числителе у нас основная формула тригонометрии, заменяем, видим что в знаменателе котангенс, расписываем и его, отлично, косинусы сокращаются, но остался синус в квадрате, расписываем его через произведение двух синусов, в знаменателе присутствует "икс", выполняем отработанные ранее действия, не плохо, получили первый замечательный, заменяем на единицу, остался один синус, устремляем его к нулю и получаем в ответе ноль.

Вот и подошла к концу наша практика на сегодня. Сегодня мы ознакомились с новым понятием, разобрались в очередной раз как всё это применяется и научились углядывать его в столь не очевидных примерчиках. Оставляйте свои комментарии и пожелания. Спасибо за внимание.

Другие темы:

1