Практика. Математика. Комплексный анализ. Аналитичность функции.

Вот мы и добрались до очень интересной темы связанной напрямую с комплексными числами. Сегодня узнаем что же такое аналитическая функция и правила проверки.

Нужно дать определение. Но перед этим распишем комплексную функцию через действительную и мнимую части.

Функция комплексной переменной является аналитической и дифференцируемой, если для неё выполняются условия аналитичности:

1. Условия Коши-Римана:

2. Частная производная по "z сопряженному":

3. Свойства аналитических функций: а) Сумма аналитических функций есть функция аналитическая. б) Произведение аналитических функций есть функция аналитическая.

Стоит отметить примеры не аналитических функций:

Короче говоря, везде где присутствует "z сопряжённое", приставки "Im" и "Re".

Держа всё это в голове или на бумаге, можно решить приличное количество задачек. Мы разберём пожалуй наиболее примитивные из них.

Задание №1:

Функция достаточно простенькая.

Приступим к решению. Желательно использовать все свойства записанные ранее. Иначе могут возникнуть не состыковки.

Взяли частную производную по "z сопряжённое", она оказалась равной нулю, одно из условий выполнилось. Второе условие Коши-Римана, расписали функцию, выделили действительную и мнимую части без учёта константы, взяли частные производные, сразу выяснилось, что равенства нет исходя из этого сделали вывод о не аналитичности нашей изначальной функции.

Задание №2

Одно из условий выполнено.

Попробуем теперь условием Коши-Римана воспользоваться.

Расписали, одну из экспонент расписали по формуле Эйлера и раскрыли скобки, после выделили мнимую и действительную части. Условие Коши-Римана тоже дало положительный результат, следовательно функция аналитическая.

Главное в таких примерах не запутаться когда берёшь частные производные. Иногда могут попасться совсем уж навороченные.

Информации получили сегодня достаточно ещё и разобрали парочку примерчиков. По этому нужно пойти отдохнуть. Оставляйте в комментариях свои примеры. Спасибо за внимание.

Другие темы:

• Комплексные числа. Введение.
• Формула Эйлера и её следствия.
• Заработок в интернете на буксах.