В сборниках "занимательных задач" часто встречается такой вопрос, и практически во всех дается ответ - Можно. Разверните куб так, чтобы на вас смотрела главная ось - и вы увидите, что в контур куба - правильный шестиугольник - можно вписать квадрат (проекция куба) со стороной, большей, чем ребро куба.
Но - ключевое слово - "просверлить". Обычно представляется сверло и сделанное им цилиндрическое отверстие. Поэтому вопрос прозвучит так - "Возможно ли в кубе просверлить цилиндрическое отверстие, через которое может пройти больший куб?"
Возьмем куб с ребром А. соединим противоположные вершины осью. Через середину оси проведем плоскость, которая перпендикулярна оси. И вдоль оси просверлим отверстие.
В сечении куба плоскостью получится правильный шестиугольник со стороной ( <квадратный корень из 2> А ) / 2. Стороне шестиугольника равен и радиус описанной вокруг него окружности.
Диаметр окружности, соответственно, равен ( <квадратный корень из 2> А ).
И это – максимальный диаметр отверстия, при котором куб еще не распадается на отдельные части. Отверстие такого диаметра оставляет от куба только «рожки да ножки» - 6 вершин, соединенных ребрами, «мясо» на которых в середине имеет нулевую толщину.
А через отверстие диаметром ( <квадратный корень из 2> А ) можно протащить куб с ребром А. И не больше.
При отверстии большего диаметра куб распадется на шесть отдельных вершин и, фактически, перестанет быть кубом.
Так что через отверстие (в виде кругового цилиндра) в кубе можно протащить только такой же куб – и не больший.
А если сверлить каким-нибудь "хитрым" приспособлением, позволяющим получать отверстие не в виде кругового цилиндра, а цилиндра, имеющего основанием другую фигуру?