Практика. Математический анализ (Матан). Вычисление производных через lim.

Сегодняшняя практика будет посвящена вычислению производных, но не как обычно через табличку. Наша задача сегодня освоить как составлялась таблица производных, точнее мы сами полностью проделаем весь путь, начиная от самого примера до получения производной функции. Всё это делается при помощи теории пределов, существующей формулы для вычисления. Поехали...

Запишем ту самую формулу.

Где-то мы такое уже видели.

Существует и другая запись для вычисления производной.

Любую из этих двух формул можно использовать.

Мы сегодня постараемся поработать с первой формулой, так как она сложнее в понимании и общем использовании. Не будем же искать лёгких путей?

И так, первое задание на сегодня, будет...

Функция достаточно простая.

Потихоньку будем разбираться как всё делается.

Если ничего непонятно, смотрите ниже. Хоть это у нас и лимит, не нужно сразу подставлять 0 вместо "дельта икс", иначе получается бесконечность. Раз у нас появились скобки, раскрываем их, всё лишнее сокращается и мы получаем ответ два.

Ваш вопрос: "откуда всё взялось?". Посмотрим на другой примере, где лучше видно.

То есть, в прошлом примере у нас отсутствовал косинус, вместо него ничего не было и мы взяли "икс нулевое плюс дельта икс" умноженное на два. Тут присутствует косинус, мы его везде учитываем.

Раз записали давайте попробуем решить.

Единственное, что нам нужно было вспомнить в этом примере, так это косинус суммы и первый замечательный предел, остальное простейшие математические преобразования идут. Во второй строчке у нас пропал косинус "дельта икс", мы его устремили к нулю и получили вместо него единицу.

С синусом примерно такая же история, можете попробовать найти самостоятельно. Переходим к третьему примеру.

Расписали тангенс через отношение синуса и косинуса, далее привели к общему знаменателю, вынесли единицу делённую на икс, так как это для нас как константа, преобразовали в двухэтажную дробь, после этого нужно расписать косинус и синус суммы по формулам, раскрыли скобки, лишнее ушло, основное тригонометрическое тождество обнаружили, ещё и первый замечательный предел, в конце "дельта икс" устремили к нулю, и получили ответ.

Совсем заигрались с тригонометрическими функциями, нужно что-нибудь другое попробовать, к примеру производную от натурального логарифма.

Главное было вспомнить формулу разности логарифмов, на второй строчке использовали эквивалентную бесконечно малую, маленькие математические преобразования и всё.

Хорошо сегодня поработали, разобрались как находить производную любой функции при помощи предела и вспомнили формулы школьного курса. Оставляйте ваши примеры в комментариях. Спасибо за внимание.

Другие темы:

• Производные.
• Частные производные.
• Раскрытие неопределённости (0/0).