В московском офисе «Яндекса» прошла международная конференция «Психология и технологии в математическом образовании», на которой опытные преподаватели и ученые обсудили, как следует заниматься с детьми математикой, чтобы они успешно ее усваивали.
Математика для одаренных детей
Учитель математики Яков Иосифович Абрамсон рассказал о содержании и методах преподавания математики в начальной школе для одаренных учащихся на примере работы в школе «Интеллектуал».
Яков Иосифович 30 лет преподает математику. С 2003 года он работает в государственной школе для одаренных детей «Интеллектуал». Хотя в ней учатся дети с 1-го по 11-й классы, подробно Абрамсон остановился на 4 годах начальной школы.
В первом классе дети проходят позиционную систему счисления, арифметические операции (сложение, вычитание, умножение и деление).
Во втором классе появляются отрицательные числа, функции, графики. Этого достаточно, чтобы заниматься преобразованиями графиков, движениями плоскости, которые допускаются на целочисленной решетке. Кроме того, у детей появляется понимание композиции отображения.
В третьем классе появляется язык математической логики и теория множеств. По словам Якова Абрамсона, дети очень плавно подходят к конечной арифметике и бинарным отношениям.
Дети как следует начинают разбираться в целых числах. Мы умышленно затягиваем дроби. Я считаю, с ними спешить не стоит. Мы как можно дольше «живем» в целых числах. При этом с первого класса у нас модульная система. Год делится на шесть модулей. Осенние модули – 5 недель, 6-я – каникулы. Весенние модули – 6 недель, 7-я – каникулы. Третьеклассников, например, множествами и значками уже не испугаешь. Символика уже вошла в их жизнь. У них нет строгой границы между реальностью и миром сказки. Это условия игры. Мы работаем с какими-то буквами, по каким-то правилам.
Яков Иосифович Абрамсон, учитель математики, школа «Интеллектуал», Россия
В первом, втором, третьем и четвертом классах есть модуль, посвященный геометрии. В первом классе – знакомство с предметом: что такое прямые, параллельные, ломаные и пересекающиеся линии, какие бывают многоугольники. Также дети решают некоторые конструктивные задачи в комбинаторной геометрии: например, как разделить восьмиугольник прямым разрезом, чтобы получилось три треугольника.
Во втором классе переходят к математическим доказательствам. Так за 4 года дети проходят всю конгруэнтную геометрию, где речь идет о равенстве фигур, отрезков, углов, треугольников и так далее.
С пятого класса программа ложится на очень хорошо подготовленную почву. Дети движутся семимильными шагами: дроби, уравнения с двумя неизвестными, теоремы, многочлены и прочее.
Яков Иосифович Абрамсон, учитель математики, школа «Интеллектуал», Россия
По словам Якова Иосифовича, знакомого с российской и американской системами обучения, в дробях заключается большая сложность, связанная с факторизацией. Однако школьникам дроби преподают раньше, чем отрицательные числа.
Логически целые числа нужно проходить раньше. Потому что это разрешимость операции сложения, которая предшествует умножению. Да и психологически проще оперировать целыми числами. Так же, как и в двоичной системе счисления: легче понять механизм организации чисел. Легче представить на кубиках числа с большим количеством разрядов. В школах очень консервативная система. В этом ничего плохого нет, но надо осознавать, что очень многое делается в историческом порядке, а не потому, что так лучше. Так деды и прадеды делали.
Яков Иосифович Абрамсон, учитель математики, школа «Интеллектуал», Россия
Цели и методы
Одной из главных своих задач Яков Абрамсон видит ознакомление учеников начальной школы с основными структурами и понятиями, чтобы в последующие годы дети могли возвращаться к ним, изучая новые темы. По мере обучения, отмечает Абрамсон, быстро увеличивается зона ближайшего развития детей.
Решение задач проходит вроде бы под давлением. Я никогда не даю ответов, никогда не говорю, как решается задача. Я часто оставляю задачу нерешенной после окончания урока. Задача продолжает мучить детей, не дает им спать. Они не могут ее отложить, хотят знать, как она решается. Зато они быстро развиваются. Это психологический эффект незавершенного действия.
Яков Иосифович Абрамсон, учитель математики, школа «Интеллектуал», Россия
По словам Якова Иосифовича, в обучении математике используется метод проб и ошибок, а также алгоритмический метод. Во время обучения дети могут свободно передвигаться по классу, разговаривать, собираться группами и работать самостоятельно.
Через некоторое время дети настолько вырываются вперед, по сравнению с обычной программой, что даже очень талантливых ребят мы не можем уже взять извне.
Яков Иосифович Абрамсон, учитель математики, школа «Интеллектуал», Россия
Одной из проблем современных педагогов Абрамсон называет их порыв объяснять ученикам то, что те не понимают. Это сложно, но нужно сдерживать себя, советует Яков Иосифович. Не подсказывать, но иногда задавать наводящий вопрос, чтобы «поддерживать огонь».
Изучению математики помогает визуализация
Другой участник конференции, доктор наук Бостонского колледжа (США) Марина Васильева заявила, что намного успешнее в изучении математики становятся дети, способные визуализировать задачу и образно мыслить. Доктор наук предложила уделять в школах особое внимание тренировке способности визуализации.
Вместе с командой она разделила на две группы учеников начальной школы, обладающих примерно равными способностями к математике. С первой группой детей работали специалисты, помогавшие детям в развитии способности создавать мыслеобразы. Со второй группой никто специально не работал.
По словам Васильевой, сначала дети не понимают интервалов и их равенства (например, между 5 и 6, 95 и 96), однако ситуация меняется при наличии наглядных подсказок и конкретных изменений.
Мы фокусировались на пространственном отображении. Например, использовали на уроке кусочки бумаги разной длины для обозначения разных интервалов, а также понятные жесты, обозначающие ту или иную длину.
Пример задания. Детям показывали три линейки с разными интервалами градации, затем клали какой-нибудь предмет (например, карандаш) и говорили: на одной линейке получилось значение 2, на другой – 20. Дети должны были понять, о каких линейках идет речь и какие из них были использованы. В результате первая группа детей заметно лучше освоила материал, чем группа, с которой не занимались.
Марина Васильева, доктор наук Бостонского колледжа
По словам Васильевой, это подтверждает связь пространственных величин и визуализации. Доктор наук советует использовать подобные методы на уроках математики в школе.
Результаты TIMSS и PISA
Научный сотрудник НИУ ВШЭ Галина Ларина и младший научный сотрудник НИУ ВШЭ Анастасия Капуза провели исследование того, как практики преподавания, которой придерживаются учителя математики, влияют на результаты TIMSS и PISA.
Исследование Высшей школы экономики затрагивает такую область моделирования, как интерпретация. Когда дети получают определенный результат и пытаются применить его в жизни. По словам исследователей, в школах интерпретации уделяется очень мало внимания.
У нас достаточно обширные исследования. Мы фокусировались не на детях, а на учителях. Часто во время уроков учителя говорят: «запомни правила», «выучи это», «прочитай учебник». Эти практики тренируют способность запоминать, но меньше связаны с процессом интерпретации и применения в жизни изученного материала. Гораздо реже учителя используют более продвинутые в плане когнитивных навыков практики: например, «объясни, как это связано с жизнью» или «поработай с одноклассниками».
Анастасия Капуза, младший научный сотрудник НИУ ВШЭ
В исследовании учитывались результаты TIMSS-2011 (8-е классы: 4 893 ученика из 231 класса) и PISA-2012 (9-е классы: 4 399 учеников из 229 классов).
В 2012 году Россия по результатам PISA заняла 34-е место из 72, хотя за 3 года до этого – 41-е место.
В 2011 году Россия по результатам TIMSS заняла 10-е место из 36. Хотя за 4 года до этого она заняла 8-е место по математике.
Оригинальная статья размещена здесь.
