Привет всем! В предыдущей статье я сказал, что для разложения на множители полезно знать признаки делимости чисел. Сегодня предлагаю Вашему вниманию статью на эту тему. Чтобы многократно не повторяться, сразу скажу: говоря, что одно число делится или не делится на другое, будет иметься ввиду - без остатка.
Нередко в арифметике требуется узнать, делится ли одно число на другое, не производя при этом самой операции деления. Если есть калькулятор под рукой, то проверить можно довольно быстро - просто поделив число. А если нет? Именно для подобных случаев математики ещё в давние времена разработали для некоторых чисел признаки делимости. Это такие правила, по которым можно определить, делится ли одно число на другое. Признаки делимости существуют для многих чисел, что значительно облегчает решение некоторых арифметических задач. В школьной программе изучают лишь малую часть признаков делимости. Во-первых, их изучают только для узкого круга чисел: чаще всего, это 2, 3, 5, 9 (гораздо реже в некоторых программах можно встретить 4, 6, 8, 11 и др.). Во-вторых, для некоторых чисел существует больше одного признака. Сегодня я расскажу Вам о признаках делимости для чисел от 2 до 11. Если для числа существует больше одного признака, то я буду описывать самый простой для понимания (конечно, на мой взгляд).
Признак делимости на 2. Он очень простой. На 2 делятся числа, оканчивающиеся на 0, 2, 4, 6, 8. Такие числа называются чётными. Все остальные на 2 не делятся - это нечётные числа. Например, число 358 - чётное, следовательно, оно делится на 2.
Признак делимости на 3. Если сумма всех цифр числа делится на 3, то это число делится на 3. Например, число 1593078 делится на 3, т. к. 1+5+9+3+0+7+8=33, а 33 делится на 3.
Признак делимости на 4. Если число, составленное из двух последних цифр числа, делится на 4, то это число делится на 4. Например, число 896324 делится на 4, т. к. 24 делится на 4.
Признак делимости на 5. Если число оканчивается на 0 или 5, то оно делится на 5. Значит, 2895 делится на 5, т. к. оно оканчивается на 5.
Признак делимости на 6. Этот признак комбинируется из признаков делимости на 2 и 3, так как 6 кратно им. Если число чётно и сумма его цифр делится на 3, то оно делится на 6. Например, число 25674 делится на 6, т. к. оно чётное и 2+5+6+7+4=24, а 24 делится на 3.
Признак делимости на 7. В большинстве школ его не изучают, но я расскажу Вам о нём. Определение даже самого простого признака сложновато для понимания. Поэтому, для упрощения, я его разобью на этапы: 1) разбить число на группы по три цифры в каждом, начиная с разряда единиц, справа налево; 2) получившиеся числа, стоящие на чётных местах (опять же, считая справа налево), взять со знаком "плюс", а на нечётных местах - со знаком "минус"; 3) произвести сложение и вычитание; 4) взять модуль получившегося числа (это на случай если число получилось отрицательным); 5) если окончательный результат делится на 7, то и исходное число делится на 7. Для примера возьмём число 478347504957. Разбиваем его на группы по три цифры справа налево: 478|347|504|957. Получили четыре трёхзначных числа. Теперь числа, стоящие на чётных местах, берём со знаком "плюс": +478, +504, а на нечётных - со знаком "минус": -347, -957. Дальше производим вычисления (первый плюс можно опустить): 478+504-347-957=-322. Получили отрицательное число; значит, берём модуль этого числа: |-322|=322. Теперь проверяем делится ли оно на 7: 322/7=46. Как видим, делится. Значит, и 478347504957 делится на 7.
Признак делимости на 8. Если число, составленное из трёх последних цифр числа, делится на 8, то это число делится на 8. Как видите, почти то же самое, что и для 4, только берутся не две последние цифры, а три. Например, число 848430264 делится на 8, т. к. 264 делится на 8.
Признак делимости на 9. Если сумма всех цифр числа делится на 9, то это число делится на 9. Один в один, как признак делимости на 3. Например, число 39875302413 делится на 9, т. к. 3+9+8+7+5+3+0+2+4+1+3=45, а 45 делится на 9.
Признак делимости на 10. Если число оканчивается на 0, то оно делится на 10. Самый простой признак :) Например, 269720398710 делится на 10, т. к. оно оканчивается на 0.
Признак делимости на 11. Если сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц), делится на 11, то оно делится на 11. Например, число 18308565 делится на 11, т. к. 18+30+85+65=198, в свою очередь, 1+98=99 - делится на 11.
Я бы с удовольствием продолжил и дальше :) Но, как я Вам обещал, я поделюсь признаками делимости для чисел от 2 до 11. Иначе, статья будет бесконечной :) Кстати, если хорошо подумать, можно для некоторых чисел легко составить свои признаки делимости, зная уже вышеперечисленные, комбинируя их. Например, для 12, 15, 18, и т. д.
Надеюсь, Вам понравилась статья, и Вы из неё узнали для себя что-то новое и полезное.
Спасибо, что прочитали! Буду благодарен за комментарии, лайки, подписки.