Математика. Комплексные числа. Введение.

Начнём с самого важного - это название темы. Расставим правильно ударение, нужно говорить "комплЕксные числа", это очень важно. Как говорил один препод в универе: "обед у вас кОмплексный, а числа комплЕксные!". Если таких мелочей не знать, то математичка в ваших знаниях сильно усомнится.

Комплексные числа являются одной из самой главных тем в теории чисел, считая что вещественные числа являются частным случаем. Они подразумевают под собой, что число состоит из действительной и мнимой частей. Записывается в виде:

Где а-действительная часть, а b-мнимая (нереальная, несуществующая).

Не сложно догадаться почему вещественные числа являются частным случаем, ведь их можно записать в виде:

Имея в виду что мнимая часть будет равняться нулю и останется только действительная.

Забыли затронуть что такое "i" у нас в записи. Это мнимая единица и равняется она "квадратному корню из минус единицы".

Любое число умноженное на "i", будет являться мнимым.

Как и вещественные числа, комплексные тоже можно изобразить, только не на обычной плоскости, а на "комплексной". Где ось "y" будет называться "мнимая - Im(z) - (Imaginary)", а ось "x" "действительная - Re(z) - (Real)".

Комплексное число на плоскости изображается в виде радиус вектора.

Разберёмся с обозначениями на графике, там присутствует "|z|", это модуль, он обозначает длину радиус вектора. Другое обозначение это "φ", с её помощью вводится понятие угла отклонения радиус вектора от действительной оси. Длина вектора и угол вычисляются по формулам:

Формула вычисления угла может изменяться в зависимости от четверти в которой находится комплексное число.

Все знают что с числами можно выполнять различные операции, такие как: сложение, вычитание, умножение, деление. делается всё это немного сложней, потому что у нас есть помимо вещественной части ещё и мнимая. Разберёмся со сложением и вычитанием на данный момент. Посмотрим как это делается на примере, таким образом проще понять.

Ничего затруднительного нет, действительную часть складываем с действительной, мнимую с мнимой. Очевидно же.

Вот с умножением и делением придётся "попотеть", вспомнить формулы сокращённого умножения в некоторых случаях. Разберём тоже на примерах.

Метод умножения: фонтанчиком. Первая циферка из первой скобки умножается на циферки второй скобки с соответствующими знаками, после вто... Так, вы это знаете, не стоит продолжать, всё ясно.

Приступим к делению, цифры те же.

Изначально наша задача записать всё это действие в виде "отдельно действительная часть, отдельно мнимая". Для этого потребовалось избавиться от мнимой части в знаменателе, мы домножили числитель и знаменатель на число "комплексно сопряжённое" знаменателю. После этого действия идут алгебраические вычисления, которые в итоге приводят нас к ответу.

Поясним за комплексно сопряжённое. Это обычное комплексное число, только записанное со знаком минус.

Обозначается оно с чёрточкой сверху.

За сегодня ознакомились с самыми элементарными понятиями в теории комплексных числе. В следующий раз разберёмся с видами записи комплексных чисел. Оставляйте в комментариях что необходимо разобрать в другой раз. Спасибо за внимание.