Теорема звучит так: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Доказательство.
Доказательство:
1) По теореме о сумме углов треугольника ∠C=180°-(∠A+∠B), ∠C1=180°-(∠A1+∠B1). Так как ∠A=∠A1 и ∠B=∠B1, то и ∠C=∠C1.
2) На луче A1B1 отложим отрезок A1B2, A1B2=AB.
3) Через точку B2 проведем прямую B2C2, параллельную прямой B1C1. 4) ∠A1B2C2=∠A1B1C1 (как соответственные при B2C2 ∥ B1C1 и секущей A1B1). Значит, ∠A1B2C2=∠B.
5) В треугольниках A1B2C2 и ABC: ∠A1 =∠A, ∠A1B2C2=∠B, A1B2 =AB. Значит, ΔA1B2C2 = ΔABC (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: A1C2=AC.
6) По теореме о пропорциональных отрезках, A1C2/A1C1 = A1B2/A1B1, так как A1B2 =AB и A1C2=AC, то AC/A1B1=BC/B1C1.
7) Аналогично доказывается, что AB/A1B1=BC/B1C1.
8) Таким образом, в треугольниках ABC и A1B1C1: ∠A=∠A1, ∠B=∠B1, ∠C=∠C1, AB/A1B1 = BC/B1C1 = AC/A1C1.
Значит, ΔABC∼ ΔA1B1C1 (по определению подобных треугольников). Что и требовалось доказать.