В данной статье речь пойдет об очень необычном числе «142857» — сто сорок две тысячи восемьсот пятьдесят семь. На первый взгляд может показаться, что это просто набор цифр, которые не связаны между собой. А если и есть связь между цифрами внутри этого числа (14 умножить на 2 равняется 28, а 28 умножить на 2 равняется 56, что в сумме с единицей дает 57, а 57 умноженное на 2 равняется 114 и так далее), то эта связь не такая уж и особенная. Однако у нашего числа есть другие, гораздо более удивительные закономерности, о которых вы узнаете ниже, и благодаря которым это число иногда называют «магическим» или «загадочным».
Что это за число?
Что это за число? Как написано в Википедии, 142857 — это натуральное число, заключённое между 142856 и 142 858. Однако такое скупое определение и на малую толику не описывает весь спектр особенностей этого необычного числа.
Откуда взялось это число? Не может же быть, что в Википедии появилась целая статья, посвященная какому-то странному числу. На самом деле, число 142857 появилось путем деления единицы на семь, или другими более формальными словами, оно является периодом разложения обыкновенной дроби 1/7 в десятичную дробь:
1/7 = 0,142857142857… = 0,(142857)
Число 142857 в этой достаточно простой дроби повторяется бесконечное количество раз после запятой. И вот на этом и начинается череда таинственных совпадений.
Интересные факты
Факт 1. Это число является циклическим при умножении на однозначные числа.Если данное число умножать на 1, 2, 3, 4 и так далее до 7, то цифры 1, 4, 2, 8, 5 и 7 будут так и оставаться в произведении. Более того, порядок этих цифр не будет меняться: они будут находиться в той же самой последовательности друг за другом, учитывая, что за крайней правой цифрой следует крайняя левая.
- 142 857 × 1 = 142 857
- 142 857 × 2 = 285 714
- 142 857 × 3 = 428 571
- 142 857 × 4 = 571 428
- 142 857 × 5 = 714 285
- 142 857 × 6 = 857 142
Как нам уже известно, данное число является периодом дроби 1/7. Следовательно, 0,142 857 × 7 = 0,999999, что практически равняется единице. А все натуральные множители, большие чем семь, уже не будут давать цикличность.
Факт 2. У данного числа есть множество примеров цикличности.
Если из квадрата последних трёх цифр вычесть квадрат первых трёх цифр, то получится также циклический результат сдвига, а именно число: 714 285.
Если возвести наше магическое число в квадрат, то мы получим 142 857 × 142 857 = 20 408 122 449. А после прибавления последних шести цифр к первым пяти (122 449 + 20 408) получается снова 142 857.
Если делить это число на 2 или 5, то мы опять получим те же цифры в нужной последовательности
- 142857 / 2 = 71 428.5
- 142857 / 5 = 28 571.4
Этот факт можно объяснить простым свойством, которое связывает деление на 2 с умножением на 5, а деление на 5 с умножением на 2. Об этом читайте подробнее в одном из уроков по устному счету на нашем сайте.
Факт 3. Суммы частей числа 142857 дают числа из девяток. Если число 142 857 разбить на 2 части, то есть 142 и 857 и сложить их, то получится 999. А если на 3 части, то есть 14, 28 и 57, а потом тоже сложить, то получится 99.
- 1 + 8 = 4 + 5 = 2 + 7 = 9
- 14 + 28 + 57 = 99
- 142 + 857 = 999
Факт 4. Соотношение сторон листа формата А4 является десятичной дробью с периодом, равным нашему числу. Так стандартная длина листа А4 равняется 297 мм, а ширина составляет 210 мм. Пропорция, равная отношению длины к ширине листа, выглядит следующим образом 297/210 = 1,4(142857).
Факт 5. Это число является числом харшад. Числами харшад называются числа, делящиеся нацело на сумму цифр, из которых они состоят. Если число 142 857 разделить на сумму «1 + 4 + 2 + 8 + 5 +7», что равняется 27, то мы получим целое натуральное число 5291.
Олимпиадная задача
Данное число используют и для проверки эрудиции и логического мышления школьников и студентов. В одной из олимпиад по математике была задача со следующим условием:
На какое число, не равное нулю,надо умножить 142857,чтобы получилось число, записанное одинаковыми цифрами?
Ответ на эту задачу кроется в принципе получения данного числа. Как уже было сказано, что число 142857 стало известно благодаря делению единицы на семь (1/7=0,142857 и умножить миллион). Следовательно, можно смело утверждать, что если мы снова умножим данное число на 7, то ответ будет стремиться к одному миллиону, но не будет равен ему, так мы округляли частное в меньшую сторону.
142 857 × 7 = 999 999
Ответ: чтобы получилось число, записанное одинаковыми цифрами, нужно умножить 142857 на однозначное число 7.
Отзывы и комментарии
Как ни странно, в этой статье описаны далеко не все тайны числа 142857. К примеру, оно также является числом Капрекара, которое можно свести к постоянной 6174. Но подобные факты уже являются интеллектуальными изысками. Если вы нашли другие необычные закономерности данного числа, то можете оставлять