Найти тему
Vseznayka
368 подписчиков

Практика. Математический анализ (Матан). Формула интегрирования по частям. Часть 2.

101
~1 мин
Источник: https://foma.ru/wp-content/uploads/fotos/calendar/04_%20april/10_02.jpg
Источник: https://foma.ru/wp-content/uploads/fotos/calendar/04_%20april/10_02.jpg
На сегодняшней практике продолжим ознакомление с формулой интегрирования по частям. На прошлом занятии мы уже рассмотрели как пользоваться ей. Сегодня рассмотрим более сложные примеры, за одно и проверим свои приобретённые навыки.

Первый интеграл с которым нам удосужилось столкнуться на сегодня, не является чем-то необычным, но заставит "подзапариться" неопытного студента. Посмотрим на него.

Тут придётся вспомнить не только интегрирование по частям однако...
Тут придётся вспомнить не только интегрирование по частям однако...

В этом примере нужно использовать подведение под знак дифференциала, а так же дважды интегрирование по частям. Сейчас увидим как должно всё выглядеть.

решение конечно большое, главное не запутаться во всём этом. Первым делом выбрали что будет "u" и "dv", тут ошибаться нельзя, если взять другие переменные за "u" и "dv", то мы усугубим наше положение, можете попробовать сами и всё станет понятно. от "u" взяли дифференциал, от "dv" интеграл (более подробное решение будет ниже). Далее использовав формулу собрали всё вместе. И опять у нас получился интеграл который нужно брать по частям, мы его обозначили за "I" и вычислили отдельно интегрируя по частям. После, нужно сделать обратную замену и раскрыть все скобки, не забываем дописывать константу в конце.
решение конечно большое, главное не запутаться во всём этом. Первым делом выбрали что будет "u" и "dv", тут ошибаться нельзя, если взять другие переменные за "u" и "dv", то мы усугубим наше положение, можете попробовать сами и всё станет понятно. от "u" взяли дифференциал, от "dv" интеграл (более подробное решение будет ниже). Далее использовав формулу собрали всё вместе. И опять у нас получился интеграл который нужно брать по частям, мы его обозначили за "I" и вычислили отдельно интегрируя по частям. После, нужно сделать обратную замену и раскрыть все скобки, не забываем дописывать константу в конце.

Более подробное решение:

Расписывать тут по сути нечего, ведь нужно в данном случае использовать формулу подведения под знак дифференциала и ничего более.
Расписывать тут по сути нечего, ведь нужно в данном случае использовать формулу подведения под знак дифференциала и ничего более.

Наверно все уже устали, нужно что-то немного легче. Возьмём пример того же уровня, только подвох нас ждёт в другом месте...

Проще будет говорили они...
Проще будет говорили они...

Не так сложно же, да, присутствует подведение под знак дифференциала, мы уже практиковались на эту тему, сложности не должны быть.

Тот самый подвох ждёт нас как раз в выборе, что будет "u", а что "dv", если сделать наоборот, мы опять придём в тупик. После того как выбрали, проинтегрировали "dv" и продифференцировали "u". Используем формулу и подставляем всё как в формуле. Дальше разбираемся с получившимся интегралом. Для его решения лучше раскрыть скобку по формуле сокращённого умножения. После делим каждый полином на "x" и вычисляем получившийся простой интеграл.
Тот самый подвох ждёт нас как раз в выборе, что будет "u", а что "dv", если сделать наоборот, мы опять придём в тупик. После того как выбрали, проинтегрировали "dv" и продифференцировали "u". Используем формулу и подставляем всё как в формуле. Дальше разбираемся с получившимся интегралом. Для его решения лучше раскрыть скобку по формуле сокращённого умножения. После делим каждый полином на "x" и вычисляем получившийся простой интеграл.
Решили сегодня два не самых простых примера. В следующий раз ознакомимся с циклическими интегралами. Оставляйте в комментариях свои примеры. Спасибо за внимание.