Практика. Математический анализ (Матан). Интегрирование подведением под знак дифференциала. Часть 2.

На прошлой практике мы уже рассмотрели как решать простейшие интегралы методом подведения под знак дифференциала. Если вы ещё не знакомы с этой темой, лучше сделайте это прямо сейчас. Ну а пока "неопытные" разбираются с основами, мы начнём разбирать более "навороченные" примерчики.

Сейчас наверно подумали о табличке... Постарайтесь её запомнить хотя бы визуально, таким образом в дальнейшем вы сможете на автомате "прикидывать" алгоритм решения того или иного интеграла.

Первый гость в нашей "студии" заслуживает статус "ветерана" в интегральном исчислении. Один из самых простых и в тот же момент, самый интересный. Встречайте...

Те, кто уже его видел, сразу могут сказать ответ. Но давайте не будем торопиться и со всем разберёмся по порядку.

Решение в студию пожалуйста...

Спасибо. "Что за детский смех, а не решение?" спросите вы. Да, решение очень простое, но его не стоит недооценивать. Не каждый студент в таком примере видит за что изначально стоит "взяться". Так что прокомментировать всё же стоит. Первым делом смотрим в таблицу, ищем хоть что то похожее с нашим интегралом. Вы правы, под номером "6" в таблице есть что-то похожее с нашим примером. Почему бы и не попробовать внести под знак дифференциала "единицу делённую на икс". В итоге получили интеграл вида "du/u", где "u=lnx", что же, будем интегрировать. Результат интегрирования вы уже увидели.

Как вы убедились, ничего сложного тут нет.

Второй примерчик будет из той же серии, удивляться тут уже нечему. Решение точно такое, как и в прошлом, но результат другой получается.

Да, просто логарифм поднялся наверх.

Вот и решение...

Делаем всё то же , только интеграл приобретает вид "udu", где за у выступает "lnx".

Пора бы решить что-то по серьёзнее, а то совсем заигрались.

Выглядит просто и не ясно каким боком вообще этот интеграл относится к нашей теме. На самом же деле ещё как относится, сейчас всё увидим.

Решение получается чуть "веселее", так как интеграл задан определённый.

Первым делом расписали "тангенс", дальше нужно "что-то" делать, попробуем привести интеграл к "логарифму", "только как?". Вспоминаем что производная от "косинуса" будет "минус синус", ага, значит вносим под знак дифференциала наш синус, в итоге получаем интеграл вида: "du/u", где "u=cosx". Интегрируем, подставляем пределы и записываем ответ. Возникает вопрос: "откуда минус?", так вот, у нас под знаком дифференциала стоит "cosx", если взять от него производную, то получится "-sinx", именно этот минус мы и вынесли.

Удивительное совпадение, но во всех сегодняшних примерах присутствовал "натуральный логарифм". Предполагаю что нужно ещё порешать примерчиков на эту тему, не всё освоили пока что. А на сегодня достаточно. Спасибо за внимание.