Практика. Математический анализ (Матан). Интегрирование подведением под знак дифференциала.

Настало время очень "хайповой" темы интегрального исчисления. Носит она незаурядное, но малопонятное название - подведение под знак дифференциала. Ознакомившись с ней, ваши умения решать интегралы улучшаться до неузнаваемости. Даже самые сложные на первый взгляд, начнут щёлкаться как семечки. Разберём сегодня прям ну очень простые примеры, ознакомимся с сутью.

А теперь, пока вы мотивированы на постижении новых высот, постараемся не перебить огонь в ваших глазах. Потихоньку начнём разбираться. Суть метода исходит из самого названия (в принципе как и всегда), что-то мы будем "подводить" под знак дифференциала. Что именно, поможет нам в этом табличка.

Вот и табличка нарисовалась. Только не пугайтесь, сейчас разберёмся.

Первым делом смотрите на знаки равенства, какие функции между собой равны. Вспомните или найдите таблицу производных и вам станет легче воспринимать. Если легче не стало, давайте вместе попробуем поработать с табличкой. Вспомним, что такое производная.

Это математическая запись.

Теперь попробуем соотнести нашу формулу с табличкой.

Так, видимо есть вопросы, откуда взялась единица. Она там и стояла, мы её просто не пишем, в этом смысла нет, это же единица, вы чего. Отсюда видно что "f(x)=x+a", если от этой функции взять производную по переменной "икс", то получится единица. Всё просто. вся таблица построена по такому принципу, можете самостоятельно в этом убедиться на досуге.

Нам нужно ехать дальше, с этим разобрались. Рассмотрим простенький интегральчик (конечно же определённый), решение будет представлено двумя способами, что бы увидеть разницу.

Как мы тут видим, первый интеграл решён стандартным способом, расписали через сумму интегралов и поехали по накатаной... Второй уже иначе, тут использовали наш метод, подвели единицу под знак дифференциала, как мы поняли если взять нашу функцию находящуюся под знаком дифференциала, то есть "x+1" и взять от неё производную то получится такая же производная как и от функции "x", не зря в табличке записано же "dx=d(x+1)". Если дальнейшее решение не понятно, то стоит расписать полностью.

Полное решение не представляют таким образом на чистовике, все промежуточные действия как правило проделывают в голове. После десятка решённых примеров, это не будет составлять проблем. А пока что смотрим...

Замена всего лишь формальность как вы поняли, но с ней легче понять. Отсюда видно что мы привели интеграл к табличному виду "udu", дальше интегрируем его, делаем обратную замену и применяем формулу Ньютона-Лейбница.

Уместен сейчас вопрос: "Какое преимущество метода, решение то сложнее?". На самом деле решение становится проще, это станет заметно, когда довести до автомата данный метод. Теперь примерчик чуть сложнее, но интеграл будет неопределённый на этот раз.

Что же тут у нас, так-так, вынесли константу за знак интеграла, внесли четвёрку под знак дифференциала как в прошлом примере. Самое время посмотреть в нашу табличку, под номер два, как раз наш случай, у нас роль "а" выполняет "5/3", а вынести за знак интеграла мы должны обратную "a", то есть "3/5". Дальше точно так же, как в прошлых примерах получился интеграл "udu", интегрируем и не забываем наши константы.

Если вы не поняли откуда появляется константа перед знаком интеграла, тогда настоятельно рекомендую проделать то что делали в начале "связывали таблицу с формулой", проделав это, всё станет ясно.

За сегодня мы разобрали совсем самую малость, почти ничего. Но если всё что проделано на этом занятии было понятно, тогда могу вас поздравить, вы близки к освоению данной темы почти на 50%.

Спасибо за внимание.

Продолжение следует...