Математический анализ (Матан). Метод замены в интегральном исчислении.

Вот и пришло время ознакомиться с новым методом решения интегралов. Ничего сложного вы там не увидите, предупреждаю заранее. Заранее рекомендую изучить ранее пройденную тему которая носит название "подведение под знак дифференциала", будет легче ориентироваться и воспринимать информацию.

Начнём с преимуществ данного метода:
Первым, что хотелось бы выделить, так это изящность решения. Именно то, как может из огромного выражения, стать очень компактным, благодаря одной замене.
Второе, касается тех, кто совсем не понимает как пользоваться подведением под знак дифференциала, для них, это просто находка.
Из минусов: Не всегда понятно, какую замену стоит внести что бы решить тот или иной интеграл, если даже в задании просят решить с использованием замены. В таком случае обычно играет нехватка опыта, ну это касается "прошаренных" ребят, не стоит нам туда лезть...

Хотелось начать с примера, решение которого представлено с помощью подведения под знак дифференциала. Объяснять тут ничего не стоит, пример детский.

Удивительно, но этот пример можно решить с помощью замены.

Сейчас является целью именно уловить именно суть того, как можно ещё решить пример приведённого типа.

Просто сравните, как мы ловко избежали подведения под знак дифференциала. Просто ввели замену "t=1+x", далее выразили "x" и взяли дифференциал. После ввели эту замену в интеграл исходный. За тем проинтегрировали и в конце вернулись к обратной замене, которую сделали изначально. Да, много лишних действий, но не стоит забывать, что такой ход решения может значительно облегчить жизнь в более сложных интегралах .

Все приведённые выше примеры относились к неопределённым интегралам, но есть же ещё и определённые. Вот там дела обстоят маленько иначе. Интеграл возьмём всё тот же, но только уже определённый.

Появились пределы интегрирования от 0 до 1. Проводим замену ту же самую, далее не стоит забывать про наши пределы. Наша задача сводится на этом этапе к изменению пределов интегрирования, мы должны наш ноль и единицу подставить вместо "икса" в замену "t=1+x", поочерёдно подставляем. После этого нужно записать получившийся интеграл при введении замены, с учётом новых пределов интегрирования. Дальше решаем обычный определённый интеграл.

Раз всё понятно, значит можно ехать дальше. Учитывая все полученные знания, пора взять на "растерзание" что-нибудь серьёзное. Взглянем на нашего "зверя"...

Ох, вроде страшно, а вроде и нет. Ну ничего, и не с такими справлялись.

Решение "навороченным" может показаться на первый взгляд, на самом деле это не так.

Как и говорилось ранее, нужно увидеть эту замену. В этом интеграле отчётливо видно какую ввести замену. Не долго думая всё что у нас находится под квадратом в знаменателе берём за "t". Дифференцируем нашу новую переменную и не забываем заменить пределы интегрирования. После всего смотрим на наш изначальный интеграл и думаем что нужно сделать, что бы "подогнать" под замену. Мы вынесли за знак интеграла минус в числителе дроби и провели успешную замену. Потом как обычно находим числовое значение, можно "не запариваться" по этому поводу и оставить ответ в виде разности двух чисел.

Стоит "притормозить", а то мы слишком разогнались с этими заменами. Сегодня обошлись без формул, считаю что и без них всё спокойно освоить возможно разбираясь в этом методе. Оставляйте в комментариях свои примеры. Спасибо за внимание.