Родился и вырос будущий актер в деревне, в Вологодской области. Отца, он никогда не видел. Был воспитан матерью Ефросиньей Александровной и отчимом.
Жизнь деревенского мальчишки безотцовщины была не сахар. Он с детство привык к работе. Рослый крепкий и харизматичный, не обделен был девичьим вниманием.
Жизнь юноши изменило открытие в родной деревне Дома культуры. Там по ходу участия в художественной самодеятельности, в нем пробудилась непреодолимая тяга к сцене.
И вот простой деревенский парень получив направление от поселкового дома культуры и стипендию от сельсовета едет в Ленинград и поступает в престижный институт культуры имени Крупской.
Да, в советском союзе так было можно.
Премудрости лицедейства давались Анатолию не просто, но он проявлял в учении упорство за что снискал уважение маститых педагогов. А за свое добродушие и веселый нрав любовь сокурсников. Там же он нашел любовь всей своей жизни. Учившуюся на параллельном курсе Валентину.
По окончанию обучения артист отправился набираться мастерства в провинциальный театр советского казахстана. Будущая супруга поехала за ним, отбросив карьерные амбиции.
Здесь в располагавшемся в Кокчетавском Дворце имени Ленина Русском драматическом театре, Анатолий Сливников состоялся как актер. Как крепкий добротный актер.
Терзаемый тайной мечтой о кино актер с семьей вернулся в Ленинград. Поначалу все складывалось плохо. В модные театры северной столицы не брали. В кино тоже. Порой, он просто бесцельно бродил по коридорам Ленфильма. Но, все же упорство актера дало свои плоды. И вот он уже снимается одновременно сразу в трех фильмах. Пускай в эпизодичных но все же заметных ролях. Да и сложно не заметить такого большого актера. Пускай даже в не большой роли.
Первый из вышедших на экраны фильмов с его участием был "Остров сокровищ". Где Сливников вовсе не потерялся среди собранных в команде Сильвера прекрасных актеров.
Актер трудяга. Он часто играл сразу в нескольких фильмах и брался за любые роли. Успевая при этом играть в Молодёжном Театре на Фонтанке. Не гнушался актер поработать монтировщиком или дворником.
По настоящему народный актер из народа, ковобы он не играх, он нес в себе народный характер.
Умеющий все молчаливый брат главной героини Гена по прозвищу "Крокодил". Фильм "Блондинка за углом".
Переодетый в немецкого солдата партизан, в военной драме "Иди и смотри".
Кочегар в экранизации фундаментального в творчестве Максима Горького произведения "Жизнь Клима Самгина".
Владелец трактира в мистической драме Филипп Траум по мотивам произведения Марка Твена "Таинственный незнакомец".
Начиная с 90-ых играл в основном в криминальных боевиках и комедиях.
Смерть прекрасного актера и замечательного человека оказалась внезапной и застигла в врасплох родных и многочисленных друзей. Он умер от воспаления легкого в возрасте 55 лет так и не сыграв свои главные роли.