Практика. Математический анализ (Матан). Производные.

Одна из тех тем которую все начали проходить ещё в школе и продолжают проходить в высшем техническом учреждении. Нельзя сказать что примеры выданные учителем в школе были сложными, но как не странно у многих возникали проблемы, не только с решением но и с пониманием что же такое эта "производная". Давайте начнём с самого начала, и разложим всё что нам нужно для практики "по полочкам".

Производная - показывает скорость изменения функции в заданной точке или более сложная формулировка определяющая геометрический смысл (для "ботанов"), показывает тангенс угла наклона касательной к графику функции.

Начало заложено, можно и дальше двинуться, только куда двигаться, не ясно, если нет таблицы производных (да-да, она самая, никто не ошибся, мы же примеры решать собираемся). Оставим её тут:

Так то лучше.

Стоп, кое-что забыли. Хммм, да, и тут вы правы, как можно двигаться дальше если нет формул (сильно не расстраивайтесь, их всего ✌).

Тут ничего нет сложного, одна используется при умножении двух функций одной переменной (к примеру обе зависят от икс), другая при делении, всё просто.

Пора разобрать несколько примерчиков, по нарастанию сложности. Попробуем что-нибудь простенькое для начала, ознакомимся с табличкой производных и с формулами в двух примерах (разве не классно? Двух зайцев разом уложим).

Так, так, на первый взгляд ничего сложного, первым делом посмотрим в табличку производных и найдём похожие функции, да, они есть, это "u в степени "n" и синус u". Но это ещё не всё, у нас две функции зависят от переменной икс, если их нельзя перемножить, то нужно использовать формулу "производной произведений, то есть первую формулу". Теперь только подставляем в формулу всё что требуется в ней, и всё, ответ готов.

Что же, теперь стоит решить на вторую формулу, где деление присутствует.

Делаем всё то же самое что и в прошлом примере, только тут дробь, это не должно пугать, а должна сразу вспоминаться формула производной при делении. Главное не запутаться в преобразованиях в числителе, как мы тут видим, всё благополучно сократилось и ответ получился достаточно изящным.

Раз такое дело, то можно и бахнуть под конец, что-то супер интересное, что поможет разобраться со всем и сразу. К примеру вот такое...

Вот такие глаза обычно у студентов когда видят что-то подобное 👀. На самом же деле нужно просто найти место, где лучше подойти. Тут видим дробь, в которой в числителе и знаменателе функции не делящиеся друг на друга, ага, формула при делении уже найдена. Стоп а что делать с числителем? Возможно кто-то уже догадался, но в числителе формула при произведении двух функций. Собирая всё вместе можно сказать нечто подобное "в формулу при делении функций, впихнули ещё для умножения". Раз разобрались в теории что да как, стоит и на практике это проверить. Поехали...

Ого, выглядит страшно, на деле же приходится придерживаться алгоритма. В первую очередь расписал в общем виде как придётся брать производную, подставив в формулу. Дальше взялись за дело, постепенно всё находить.

Если вы разобрались как решались первых два, то последний это совокупность первого и второго с небольшим количеством констант (циферок). Единственное что хотелось бы прокомментировать, так это производную от "единицы делённой на икс".

Как правило многие не понимают почему такая производная в итоге, так вот секрет кроется в промежуточных действиях, нужно представить дробь в ином виде, то есть "спустить на землю" и потом уже брать производную от степенной функции (степенная функция = функция у которой в степени циферка).

Пора подводить итог, как мы видим что бы находить производные, не нужно иметь огромные знания, нужно всего лишь: знать или иметь перед глазами таблицу производных, две формулы и умение делать преобразования с дробями. Спасибо за внимание.