Практика. Математический анализ (Матан). Формула Ньютона-Лейбница.

Не стоит забывать что формула Ньютона-Лейбница используется в первую очередь при решении определённых интегралов (имеющих пределы интегрирования или ещё проще говоря "на загагулине напоминающей букву S сверху и снизу стоят циферки"). Без этой формулы на самом деле не один определённый интеграл решить не удастся. Давайте же поскорее посмотрим что она из себя представляет.

На первый взгляд совсем ничего не ясно, что да как, просто набор символов, надо разбираться по порядку что каждый символ обозначает.

в; а - пределы интегрирования, циферки которые нужно будет подставить в конце что бы получить ответ в виде числа; f(x) - подинтегральная функция (зависит от икс); dx - дифференциал, переменная интегрирования (в нашем случае x); F(в); F(a) - первообразные в которые подставлены значения в и а.

Без таблицы первообразных далеко не уедем, думаю стоит прикрепить тут:

Так то лучше, можно ехать дальше.

Возьмём какой-нибудь простенький интегральчик для начала и попробуем найти его числовое значение.

Первым что тут нужно было сделать, так это посмотреть таблицу первообразных и найти есть ли там интеграл, оказалось что есть, это "икс в степени n" под цифрой три находится. Нашли для него первообразную и получили "икс в квадрате делённый на два". Далее наша задача сводится к применению самой формулы Ньютона-Лейбница. Мы должны взять верхний предел интегрирования который в формуле прописан как "в" (у нас в=2) и подставить его вместо нашего икса, после того как подставили "в", нужно подставить "а" (a=1), потом просто эти два значения вычесть как это сделано на примере выше и записать результат. Результат получился равным 1,5, а размерность ед=единицы, говоря полностью - квадратных единиц (так как они в квадрате). Единицы возводятся в квадрат, потому что это площадь.

Раз чуть-чуть разобрались можно попробовать решить что-нибудь посложней.

На самом деле пример не сильно отличается от прошлого, только действий проделать тут придётся больше. В самом начале мы видим "синус делённый на два", пытаемся найти похожий интеграл в таблице, Мда, синус то есть, но что делать с двойкой в знаменателе, по свойствам интегралов, мы можем константу (циферку) вынести за значок интеграла и дальше решать уже по таблице. Всё, нашли первообразную от "синуса", получили "минус косинус", не забываем домножать на константу которую вынесли ранее. Осталось применить формулу и подставить пределы интегрирования, тут главное не запутаться со знаками. Площадь получилась равная 0,5.

Практика была рассчитана на то, как применять формулу Ньютона-Лейбница. Вот и примеры были разобраны крайне простые. В дальнейшем разберём более сложные виды интегралов и методы их решения. Оставляйте в комментарии интегралы которые вам непонятны, будем разбираться вместе 😉. Спасибо за внимание.