Родился будущий российский актер театра и кино в 1983 году в городе Томск. Его родители занимаются ресторанным бизнесом. Еще во время обучения в престижном лицее Андрей Бурковский стал играть в команде КВН под названием "Осколки звезд".
Становится актером Бурковский не собирался, по совету родителей он поступил в Томский университет на юридический факультет.
Во время обучения Александру предложили стать участником университетской команды КВН. Поначалу он относился к игре как к хобби, но со временем учеба стала отходить на второй план.
В 2000 году была создана команда КВН "МаксимуМ", которая выступала за Томский университет, Александр Бурковский стал одним из главных игроков этой команды.
В 2003 году команду "МаксимуМ" пригласили на фестиваль "Голосящий КиВиН" в Юрмале. На протяжении нескольких лет Александр Бурковский и его команда занимали лидирующие позиции в Клубе веселых и находчивых.
В начале 2009 года Бурковского пригласили работать в телевизионный проект под названием "ДаЁшь МолоЁжь".
В этом скетч-шоу Андрей играл гопника, милиционера и метросексуала.
После яркого дебюта Андрея пригласили на съемки телесериалов "Кухня" и "Последний из Магикян".
Артист все чаще стал появляться на экранах и решил получить и актерское образования. В 2010 году он поступил в Школу-студию МХАТ на курс Игоря Золотовицкого и Сергея Земцова.
Сразу же Бурковского стали утверждать на роли в спектаклях МХАТа: "Идеальный муж", "Пиквикский клуб", "Примадонны".
С 2015 года актер все чаще стал сниматься в кинофильмах: "Пансионат “Сказка”, или Чудеса включены", "Ставка на любовь", "Полосатый".
В 2017 году актер снялся в телесериале "Адаптация", премьера которого состоялась на телеканале ТНТ.
Также принял участие в съемках исторической картины "Легенда о Коловрате", в котором исполнил роль брянского князя.
В 2018 году с его участием вышла драма "Звоните ДиКаприо!", которую можно было посмотреть на интернет-площадке телеканала "ТНТ-Премьер".
Из последних работ актера можно выделить исторический фильм "Тобол", в котором Андрей Бурковский исполнил роль исторического персонажа - Юхана Густава Рената.
Премьера фильма состоялась в феврале 2019 года.
Актер женат. Со своей будущей женой Бурковский познакомился в поезде, это была любовь с первого взгляда. Пара поженилась в 2008 году и воспитывают двух детей. Андрей старается не афишировать жизнь своей семьи в социальных сетях.