Если вспомнить школьную математику, то мы помним оттуда простейшие формулы:
1. формула прямой y = kx+b. где k - это наклон кривой, b - это смещение.
2. следующая была парабола ax*x+b*x+c = y, здесь также каждому коэффициенту есть свое соответствие.
Не сложно заметить, что усложнение функций идет за счет повышения степени старшего члена. В высшей математике любую функцию представляют в виде рядов Фурье. Чем больше членов в ряду, тем меньше погрешность между моделью и реальностью. На самом деле, мы любую функцию можем представить в виде соединенных отрезков.
Обратите внимание сверху любая гладкая функция (гладкая- значит нет изломов), а снизу эта же гладкая функция, но рядом она преобразована в отрезки. Зачем нам эти отрезки и что они дают. Вся сложность в том, что действительную функцию вы часто знать не можете, можете знать значения в конкретных точках. Чем больше точек мы берем, тем точнее функция. И тут возникает задача, как рассчитать значение в любой точке.
Отметим положение точки зеленым отрезком. Предположим мы знаем точное положение по оси абсцисс (горизонтальная прямая) и нам необходимо рассчитать значение по оси ординат. Как это происходит самым простым способом. Мы берем кривую и представляем её в виде соединенных отрезков. Всего получилось 9 точек и 8 отрезков.
по этой формуле находим формулу для каждого отрезка и храним все значения отрезков в таблице. Теперь смотрим на рисунок и видим, что отрезок пересекает 4 - ый отрезок, значит просто вместо х подставляем значение для которого необходимо найти y.
Что же мы получили таким образом - мы заменили сложную и неизвестную нам функцию набором отрезков, параметры которых легко хранить в двумерной таблице. Что же мы потеряли - потеряли точность прежде всего и гладкость функции(набор отрезков является ломаным)
Для увеличения точности, мы можем просто взять больше отрезков, например не 10, а 200. А вот для приобретения гладкости необходимо заменить отрезки на маленькие параболы, тогда получим уже метод сплайнов. Для минимального высокоточного моделирования, хорошо подходит метод кубических сплайнов.
Теперь подходим к самому главному, когда уже у нас есть функция, которую мы представили в виде отрезков, то все значения х лежащие внутри заданных отрезков, мы можем легко подсчитать с заданной точностью. Это и называется интерполяция. Все модели хранят матрицы (таблицы)коэффициентов, так как реальной формулы процесса ни знает ни кто. Если отрезки не устраивают, то их заменяют квадратными или кубическими параболами.
Еще раз отмечу, что когда Вы управляете каким-либо процессом, у вас должна быть функция по которой вы управляете процессом. Все эти функции носят расчетный характер и лишь приближены к действительности. Такое приближение - называется аппроксимация. Когда аппроксимация происходит внутри изученного диапазона, она называется интерполяция, если за пределами наших отрезков, то это уже экстраполяция.
В конце отметим, что любое моделирование подразумевает создание внутренних моделей, которые описываются строго математически(по другому пока не представить). А уже оттого какая точность нужна - используются разные метода обработки данных.
Если Вам понравилась публикация, подписывайтесь на канал, за Ваши лайки чаще показывают Наши публикации.
Для поиска публикаций через поисковые системы, просто вводите слово Вивитроника.
Свои комментарии можете предлагать в группе вконтакте,
Если есть вопросы или по желания, то пишите, через Обратную связь.
Канал телеграм.