Родился будущий актер в 1933 году в Ленинграде. Через два месяца после рождения Алексея, отец ушел из жизни. Мама осталась с тремя сыновьями, содержание семьи легло на плечи старшего брата.
В начале войны старший брат погиб на фронте. Лидия Петровна смогла переехать к родственникам в Ярославскую область. Только после полного снятия блокады Ленинграда она вернулась вместе с сыновьями домой.
Алексей начал ходить в школу, но вскоре ему пришлось оставить обучение и пойти работать учеником-помощником на завод. В это время ему было 14 лет. Кожевников был очень способным юношей и руководство заметило его способности. Сначала его назначили слесарем-механиком, а чуть позже повысили до третьего разряда. Каждый день после работы Алексей посещал вечернюю школу, так он получил среднее образование.
Руководство завода направила будущего актера в Ленинградский военно-механический институт. Во время обучения в институте Кожевников стал посещать художественный кружок при Выборгском Доме культуры в 1954 году.
В 1955 году его заприметила ассистентка режиссера Калатозова. В это время планировались съемки фильма "Первый эшелон". Алексея Кожевникова утвердили на одну из главных ролей в картине, с которой он блистательно справился.
"Первый эшелон" после выхода на советские экраны сразу же стал популярным фильмом. А Кожевников Алексей навсегда перешел из слесаря-механика в узнаваемого актера. За всю жизнь он так и не получил актерского образования.
Но образования в Ленинградском институте актер довел до конца. Он защитил диплом и пошел работать инженером-конструктором на завод, а в кино снимался в свободное от работы время. Так продолжалось до 1959 года.
С 1957 по 1959 год актер снялся в нескольких популярных картинах того времени: "На острове Дальнем", "Они встретились в пути", "Повесть о молодоженах".
1959 год для Алексея стал запоминающимся, его пригласили на съемки комедии "Неподдающиеся". Алексей снялся в одной из главных ролей, а его партнерами по фильму стали Юрий Белов и Надежда Румянцева.
После выхода комедии на экраны, Алексей Кожевников стал штатным актером "Ленфильма".
С 1960 года в основном снимался в образах второго плана. На экраны вышли такие картины с его участием: "Яша Топорков", "Полосатый рейс", "Осторожно, бабушка!", "Начальник Чукотки", "Донская повесть" и других.
А в 1962 году актер исполнил яркий образ киномеханика Тараса в кинокомедии "Королева бензоколонки".
В 1969 году Кожевников снялся в военном фильме "На пути в Берлин".
В 70-е и 80-е годы актер также продолжал много сниматься в кино, но главных ярких образов у него не было: "Собака на сене", "Семь невест ефрейтора Збруева", "Звезда пленительного счастья", "Вернемся осенью", "Летние гастроли" и другие.
Последней работой актера стала кинокомедия "Джек Восьмеркин - "американец", которая вышла на экраны уже после его смерти в 1987 году.
Личная жизнь у актера так и не сложилась. Он намеренно не хотел жениться из-за наследственной болезни. Его мама всю жизнь болела скрытой гипертонией. При этом заболевании человек зачастую не замечает постоянных скачков давления, которые иногда могут быть смертельными.
Алексей Кожевников не хотел портить жизнь какой-либо девушке и решил, что будет жить в одиночестве. Говорят, что актер всю жизнь был тайно влюблен в актрису Надежду Румянцеву, но о своих чувствах молчал.
В его жизни была любимая женщина, его коллега - актриса Людмила Ксенофонтова. Актер не стал скрывать свои проблемы со здоровьем и они решили, что у них могут быть только свободные отношения. Детей у актера не было. В 1986 году актер ушел из жизни. Ему было лишь 53 года...