Как обсуждалось ранее можно рассматривать матрицу как функцию принимающую в качестве аргумента вектор и возвращающую другой вектор. При этом если матрица прямоугольная m x n, то вектор переданный в качестве аргумента должен иметь размерность m, а на выходе вектор будет иметь размерность n. Квадратная матрица не меняет размерность вектора как не трудно догадаться.
Матричные преобразования очень часто используются в области трансформации изображений, так как с учётом эффективности матричных операций они позволяют кодировать достаточно сложные трансформации за константную сложность операции.
Диагональные матрицы и единичные матрицы
Это такие матрицы где на главной диагонали стоят какие-то значения, а на всех остальных позициях - нули. Частным случаем диагональной матрицы является единичная матрица - I - где на главной диагонали стоят единицы. С геометрической точки зрения диагональные матрицы растягивают i-ую координату в ii раз.
Ортогональные матрицы и обратные матрицы
Ортогональные матрицы - это матрицы, для которых транспонирование возвращает обратную матрицу. То есть перемножение ортогональной матрицы на свою же транспонированную версию возвращает единичную матрицу.
Ортогональные матрицы не изменяют длины векторов и их скалярное произведение, то есть умножение векторов на ортогональную матрицу не поменяют значения нормы векторов, ни результат скалярного произведения векторов, а значит и угол между векторами после перемножения на ортогональную матрицу сохраняется.
Вобщем, ортогональные матрицы вызывают вращение и поворот векторов.
Симметричные матрицы
Такой вид матриц описывает матрицы, которые после транспонирования не меняются.
С геометрической точки зрения симметричные матрицы представляют собой композицию ортогональных и диагональных преобразований.