Российский футболист не выходил на поле уже больше года, и все уже стали потихоньку забывать, что в чемпионате Швейцарии есть перспективный вратарь для нашей сборной. В систему «Спартака» футболист попал в 14 лет, а уже в 2013 начал выступать за вторую команду московского клуба. За основной состав Антон сыграл всего 3 игры, так и не сумев закрепиться в команде.
Именно желание играть и становиться первым номером послужило главным фактором в пользу перехода Антона в «Сьон». Когда президент команды лично прилетел на переговоры по трансферу, все стало ясно: переход состоится. Трансфер осуществился 1 февраля 2016 года. Болельщикам «Сьона», безусловно, запомнилась игра Антона в кубковой встрече против «Люцерна». В ней Митрюшкин отразил 2 удара в серии послематчевых пенальти и помог команде выйти в финал кубка Швейцарии. За «Сьон» Антон в общей сложности провел 58 матчей. Получив тяжелейшую травму колена, Антон выбыл из футбольного процесса больше чем на год. По последней информации фут