Кажется, что это бред и никакой связи между словами-антонимами вовсе нет. Но если окунуться в этимологию этих выражений, то можно проследить интересную картину.
При чём тут корень «кон»?
Исторически у этих слов есть общий корень «кон». Со словом «конец» всё понятно. Но как быть с «началом»? Тут можно заметить необычное чередование однокоренных слов:
Начало — почин
Получается, меняются корни «ча»/«чин». Помимо этого, в праславянском языке часто наблюдались чередования букв к/ч, а/и/о. Отсюда и выходит вместо «чин» корень «кон».
Однокоренные всё-таки?
Нет. В современном русском языке «начало» и «конец» не имеют ничего общего. А необычная историческая трансформация слов ещё раз доказывает, что наш язык подвижен и постоянно меняется.