Дифференциальное исчисление было изобретено независимо Исааком Ньютоном и Готфридом Лейбницем. Очевидным образом операцию дифференцирования можно применить один раз или несколько, но целое число раз. В письме 1695 года Гийом Лопиталь (французский математик) спросил Лейбница о возможности нецелого числа n в функции дифференцирования, например, n = 1/2. Лейбниц ответил, что «это приведет к парадоксу, из которого однажды будут получены полезные последствия». Лейбниц был прав, но пройдет несколько столетий пока не станет ясно насколько.
В этой статье будет рассмотрен вопрос о том, что может означать дробная производная и как вывести теорию дробного исчисления. Перевод статьи «Fractional calculus».
Догадки
Есть два способа интерпретировать выражение
Первый - это тот, который мы все изучаем в базовом исчислении: это функция, которую мы получаем, когда мы неоднократно дифференцируем f n раз. Второе более тонкое: мы интерпретируем его как оператор, действие которого на функцию f (t) определяется параметром n. Гиойм Лопиталь как раз спрашивает о поведении этого общего оператора, когда n не является целым числом.
Наиболее естественный способ ответить на этот вопрос - интерпретировать дифференцирование и интегрирование как преобразования, которые берут f и превращают его в новую функцию. Поэтому будем искать оператор, который непрерывно преобразует функцию f в его n-ю производную или интеграл.
Дробный интеграл и производная
Наиболее естественным местом для начала нашего поиска дифференциальных и интегральных операторов дробного порядка является формула, называемая формулой Коши для повторного интегрирования. Если мы возьмем интеграл функции n-го порядка, то результат будет следующим:
Обобщением факториала n! является гамма-функция. Если заметить, что Γ(n) = (n-1)! тогда очевидный способ обобщить формулу Коши для действительного числа α (строго больше нуля) это
И действительно, это допустимый оператор для интегрирования в дробный порядок. Он называется левым интегралом Римана-Лиувилля (R-L). Мы обсудим назначение «левого» классификатора позже. На самом деле в литературе принято много различных операторов дробного интегрирования, но интеграл R-L является самым простым в использовании и понимании. Обратите внимание, что α также может быть комплексным с действительной частью, строго большей нуля, для простоты мы будем предполагать, что α является действительным. Частный случай α = 1/2.
Интеграл R-L подчиняется следующим важным соотношениям:
Можно наивно предположить, что мы закончили, и что мы можем просто определить дробное дифференцирование как обратную операцию дробному интегрированию
Не это не так. Проблема (ну, одна из проблем) состоит в том, что гамма-функция не определена ни для нуля, ни для отрицательных целых чисел, что оставило бы нас с обобщением дифференцирования, которое даже не работало бы для обычного целого дифференцирования! Мы должны быть творческими, чтобы найти способ обойти это.
Для начала отметим, что взятие производной n раз после интегрирования n раз по определению возвращает функцию в исходное состояние:
Это означает, что производная является обратной операцией к взятию интеграла. Однако интегрирование производной не вернет функцию в исходное состояние, потому что при интегрировании добавляет произвольная константа. То есть, в общем, следующее выражение не справедливо:
Учитывая это для дробной производной порядка α за основу возьмем первую формулу:
Нам также хотелось бы иметь возможность записывать дробную производную в терминах операторов. Мы понимаем дифференцирование с целочисленным порядком и понимаем интегрирование с целочисленным и нецелочисленным порядком. Оператор, который мы можем построить из этих операторов следующий:
Функция дифференцирования выглядит теперь следующим образом:
Это левая дробная производная Римана-Лиувилля. Посмотрев на этого зверя, можно ясно понять, почему этой области исследований потребовалось почти 300 лет, чтобы куда-то пойти: большинство вычислений в дробном исчислении являются утомительными, если не полностью труднодостижимыми, если они выполняются вручную без помощи компьютера.
Используя дробный интеграл и производную, которые мы разработали, теперь мы можем объединить их кусочно, чтобы определить дифференциально-интегральный оператор:
Следующая анимация показывает, как различные интегралы Римана-Лиувилля непрерывно преобразуются между функциями f (x) = x, f (x) = 1 и f (x) = (1/2) x²:
Обратите внимание, как из значений α в диапазоне от -1 до 1 различный интеграл, показанный зеленой кривой, проходит между линией y = 1 и кривой y = (1/2) x².
Свойства
Быть любопытным хорошо. Сделать что-то странное, например, добавить дробь в число дифференциации. Но когда вы отправляетесь на неизведанную территорию, нужно быть готовым отказаться от того, что вы уже знаете, и воспринимаете как должное, естественное и очевидное.
Многие из базовых свойств обычных производных и интегралов, с которыми мы все знакомы не будут работать в дробных производных и интегралах, или будут принимать сложные формы. Тем не менее, интеграл RL и производная, которые мы обсуждали, не являются единственно возможными интегральными операторами, на самом деле существует целый набор различных способов обобщить дифференцирование и интегрирование на нецелые порядки, и это можно сделать способами, которые сохраняют многие из классических свойств. Однако в этой статье мы сосредоточимся на операторе RL, поскольку он, наряду с тесно связанным с ним оператором Caputo, являются наиболее простыми для понимания и наиболее распространенными в приложениях.
Еще одно интересное свойство RL - нелокальность. Когда мы вычисляем значение производной целого порядка в точке, результирующее значение зависит только от этой точки. Это, казалось бы, очевидное свойство называется локальностью. Другое дело с дробной производной. Дробная производная получается путем интегрирования по всему диапазону значений, и существует нетривиальная зависимость от нижней границы интегрирования, поэтому мы должны правильно выписать дробную производную в виде:
Случай, когда a = 0, является обычным явлением при анализе физических систем, поскольку часто зависимой переменной является время, а дробная производная в любой момент времени будет зависеть от состояния системы во все предыдущие времена, то есть все моменты времени с начало эксперимента при t = 0.
Эта нелокальность является одним из основных факторов интереса к дробному исчислению в приложениях. Есть много интересных физических явлений, которые имеют так называемые эффекты памяти, а это означает, что их состояние зависит не только от времени и положения, но и от предыдущих состояний. Например, можно представить компонент электрической цепи, сопротивление которого зависит от всего заряда, прошедшего через него в течение фиксированного промежутка времени. Системы с эффектами памяти очень трудно моделировать и анализировать с помощью классических дифференциальных уравнений, но нелокальность дает дробным производным встроенную способность включать эффекты памяти. Следовательно, дробное исчисление может оказаться очень полезным инструментом для анализа этого класса систем.
Нелокальность также является причиной того, что мы должны быть осторожны при определении того, что мы обсуждаем левый RL. Можно также изменить порядок интегрирования, чтобы определить правильную дробную производную:
Правый RL является принципиально другим объектом, чем левый, несмотря на похожий внешний вид. Правильные дробные производные не так много изучены, и они не так полезны в прикладных условиях. Чтобы понять почему, рассмотрим, что означало свойство нелокальности в левом случае RL: это означало, что состояние физической системы зависело от ее состояния в предыдущие времена. Если правый RL описывает физическую систему, то состояние этой системы в данный момент времени будет зависеть от ее будущего состояния, что не является физически обоснованным. Поскольку большинство исследований дробного исчисления сосредоточено на приложениях, правильные дробные производные в настоящее время в основном интересны теоретикам.
Дробные производные некоторых основных функций
Для степенных функций с n≥0 дробная производная равна:
Проверяя случай n = 0, мы видим, что это означает, что дробная производная константы, к удивлению, не равна нулю. Полу-производное константы f (t) = 1, заслуживает внимания и определяется как:
Для функции синуса:
Это тот случай, который наиболее убедительно подтверждает наше предположение о том, что дробная производная может рассматриваться как преобразование между функциями и их производными. Изменение α просто вызывает продвижение фазы, пока при α = 1 мы не получим функцию косинуса.
Наконец, для показательной функции:
Что, как и в случае с синусоидальной функцией, является именно тем, что мы и ожидаем.
Интерпретация
Пока не ясно, как мы должны интерпретировать дробные операторы геометрически и физически так же, как мы это делаем с операторами в классическом исчислении. Это область активных исследований, и когда эта проблема будет решена, она, вероятно, приведет к большим результатам в физике и технике.
В то же время, самое простое, что нужно сделать, это воспользоваться подходом, которым придерживался Оливер Хевисайд, когда он сталкивался с дробными операторами при разработке своего операционного исчисления: просто признайте, что они существуют как класс объектов сами по себе и что они следуют определенному набору правил, и если вы когда-нибудь сталкиваетесь с чем-то, что следует этим правилам, вы знаете, что делать.
Проблема таутохрона
Нилс Абель (1802–1829), как правило, считается первым математиком, разработавшим основные идеи дробного исчисления при анализе проблемы таутохрона. Задача таутохрона предлагает построить кривую со свойством того, что когда шарик скользит по кривой, время скатывания, не зависит от начальной высоты.
Абель использовал основные физические рассуждения, чтобы прийти к следующему интегральному уравнению, которое связывает время достижения нижней части кривой с начальной высотой:
Где s - параметризация длины дуги кривой, которая решает проблему. Нам нужно решить это уравнение для ds / dy. Мы могли бы решить эту проблему, используя свертки и преобразования Лапласа, как это делал Абель. В качестве альтернативы, мы могли бы сократить все это и признать, что выражение справа можно разделить на Γ (1/2) = √π, чтобы превратить его в полуинтеграл. Разделите каждую сторону этого уравнения на √π и переместите √ (2g) влево, чтобы получить, и пусть T (y0) = T0, поскольку время спада является постоянным по отношению к начальной высоте:
Мы знаем, как отменить полуцелый оператор. Просто возьмите полу-производное каждой стороны этого уравнения, и проблема будет немедленно решена:
Кривая, описываемая этим уравнением (кстати, циклоида), называется кривой таутохрона.
Эта проблема иллюстрирует основной случай использования дробного исчисления в нынешних условиях. Обычно случается так, что при анализе системы мы случайно сталкиваемся с математическим утверждением, которое оказывается дробным оператором, и поэтому мы знаем, что можем применить правила дробных операторов к этой системе.
Заключение
Один из величайших способов сделать открытия в математике и естествознании - это посмотреть, что получится если нарушить правила, попытаться заставить существующие теории работать в экстремальных или необычных случаях. Часто из этого ничего не выходит, все же правила существуют по какой-то причине, но иногда мы получаем отличный ответ, когда задаем нелепый вопрос. Это, безусловно, один из этих случаев.