Полный текст книги в PDF одним файлом:
Однажды нам стали попадаться очень странные числа (как массы, так и длины) – они не хотело «залезать» в нашу чашу (для измерения массы) для взвешивания, а длины не сопоставлялись с длинами шкал. Их становилось всё больше, и надо было что-то с этим делать. Назовём их – комплексные числа.
Пришлось поискать разные способы анализа таких чисел. Наконец, решение было найдено: нам попались особые весы. Конструкция их настолько необычна, что описанию трудно поддаётся. Можно только приблизительно показать их устройство. Чаша для взвешивания могла двигаться как по направлению шкалы, но и поперёк.
Получалось, что длина могла быть тождественна сумме двух компонентов: стандартной длины «A», и другой части – «B». Чтобы разделить эти части, первую «A» назовём действительной часть комплексного числа, вторую – мнимой. Пометим мнимую часть особым символом – «i» . Её называют мнимой единицей. Наверное, потому что она тождественна выражению: «i=1*i». Комплексное число обозначается: A+iB.
Особую примечательность этих чисел можно показать на произведении двух тождественных комплексных чисел «(0+i*1)*(0+i*1)». Можно упростить вид: до «i*i».
Так вот, умножение двух мнимых единиц тождественно отрицательному эталону «i*i=-1».
Для масс также имелась двойственность: присутствовала как действительная, так и мнимая часть.
Озеро «Пропорциональное»
Нашему взору открывается взгляд на три необычных озера. Из всех инструментом для анализа их свойств, будем использовать период-маятник.
Опустим его в воду первого озера. Фиксируя колебания на бумагу, мы получили следующий вид.
Это пропорциональное уменьшение амплитуды в 2 раза каждого последующего колебания. Нам стало интересно: а какая наименьшая его амплитуда, какое количество колебаний до остановки?
Мы не смогли дождаться этого момента. Колебания каждый раз уменьшались в 2 раза, но этому не было конца. Чтобы не ждать окончания, установим счётчик количества колебаний и оставим наш маятник: пусть затухает дальше.
Озеро «Экспонента»
В другом озере эталон-маятник затухал необычной пропорциональностью.
Величина этой пропорции примерно 2.71… Необычное число назовём именем озера – экспонента. Обозначение – e , либо exp. Это число иррациональное, его нельзя представить отношением чисел.
Экспоненциальное затухание (затухание по экспоненте) – амплитуда каждого последующего колебания уменьшается в exp раз: e в степени -x. На протяжении всего повествования мы всегда будем использовать только экспоненциальное затухание потому, что большинство процессов – это экспоненциальная функция. К примеру, в нашем случае – затухание маятника в среде: трение. Чем выше скорость, тем выше сила сопротивления.
Единичный маятник с начальной амплитудой «1» будет иметь каждую последующую амплитуду в exp раз меньше предыдущей.
Энергия маятника показана пунктирной линией. Это экспонента exp. Для статического поля характерно, что такой маятник будет колебаться бесконечно: как бы ни была мала самая далёкая амплитуда, следующая будет в exp раз меньше, и она будет всегда!
Установим и на этот маятник колебаний счётчик.
Озеро «Нормальное»
Это озеро, в отличие от названия, было значительно необычно, по сравнению с другими озёрами: колебание маятника в этом озере уменьшалось квадратичной зависимости экспоненты: e в степени -x*x.
Назовём такое затухание нормальным затуханием.
Ничего ненормального в других затуханиях нет. Просто его так назвали. График энергетической составляющей нормального затухания – график нормального распределения (представлена часть). Такую структуру обозначают – N(μ,σ²). Другое название – функция Лапласа.
Поставим и на этот маятник счётчик – может он со временем остановится?
Продолжение следует…