Сегодня я предлагаю вам посмотреть на одну занимательную математическую задачу.
Эта задача относится к теме тел вращения. Для начала нам нужно понять, что это? Тут все просто: представьте, что вы берете какую-то плоскую геометрическую фигуру и вращаете ее вокруг какой-либо прямой. Тело, полученное в результате такого вращения, будет называться телом вращения. С помощью этой теории можно получать самые разнообразные тела.
К примеру кувшин: пусть функция, которую мы хотим вращать, будет равняться y = 1+1/2cosx и ограничим нашу функцию, предположим, интервалом от -1 до 4.5.
А теперь провращаем эту фигуру вокруг оси x, тогда мы получим фигуру вращения, напоминающую нам в кувшин.
В рамках сегодняшней статьи я предлагаю вам рассмотреть крайне простую функцию: y=1/x. Казалось бы, что может быть интересного в обычной гиперболе?
Давайте посмотрим как она выглядит:
Как вы уже увидели, я предлагаю ограничить его слева единицей, а вот справа мы его ограничивать не станем, то есть график продолжается до бесконечности. Провращав этот график вокруг оси x мы получим что-то на подобии воронки.
Все самое интересное начинается в тот момент, когда мы захотим вычислить объем этой фигуры. Объем фигуры вращения будет вычисляться по следующей формуле:
А теперь, найдем его значение для нашего случая:
То есть, мы получили, что объем у такой фигуры вращения конечный. Этот вывод уже является весьма необычным, так как фигура то справа не ограничена. Но это еще не все.
Давайте вычислим площадь этой фигуры. Площадь фигуры вращения вычисляется по следующей формуле:
Ну и вычисляя значение этого интеграла для нашего случая, мы получим весьма закономерный вывод:
У нас получилось, что площадь этой фигуры бесконечна.
Но как же так? Объем конечный, а площадь бесконечна. То есть, если мы возьмем бочонок краски, объем которого будет равен пи, и зальем его в такую воронку, то мы сможем окрасить им бесконечную площадь! Но в этом нет ничего удивительного. Этот пример показывает, насколько математика интересная и непростая наука, которая таит в себе много особенностей и интересных выводов. Не забывайте ставить лайки и подписываться на канал, здесь для вас будут выпускаться статьи, освящающие некоторые научные факты и просто интересные наблюдения!