Леонид Быков родился в селе Знаменка Донецкой области, но во время войны находился с семьёй в эвакуации в Барнауле. Там, в Алтайском крае, Быков попытался поступить в лётное училище, но щуплому 15-летнему юноше никто не поверил, когда он стал утверждать, будто ему уже есть восемнадцать. В 1945-ом, уже будучи в Ленинграде, Леонид Фёдорович таки добился зачисления в школу военных лётчиков, но после окончания войны учебное заведение было расформировано.
После возвращения в родные края Леонид Быков окончил актёрский факультет Харьковского театрального института и стал выступать на сцене театра имени Т.Г. Шевченко. В 1952 году он снялся в первом своём фильме, картине Фридриха Эрмлера «Победители», которая не вышла в прокат. Посему полноценным актёрским дебютом Быкова можно считать эпизодическую роль в ленте «Судьба Марины».
Первой значимой ролью в карьере Леонида Фёдоровича стал старпом Петя Мокин в комедии «Укротительница тигров»,
но всесоюзная слава пришла к нему в 1955 году, когда Быков сыграл заглавную роль в картине «Максим Перепелица».
К этому времени Леонид уже был женат на Тамаре Кравченко, которая в 1956 году подарила ему сына Александра. Спустя два года у пары появилась дочь Марина. В 1959 году Быков с женой и детьми решил переехать в Ленинград и стал работать на студии «Ленфильм». Как вспоминала Марина Быкова, впоследствии её отец жалел об этом решении, поскольку из-за своего открытого и прямолинейного характера он плохо вписывался в коллектив.
В 1960 году Леонид Фёдорович сыграл главную роль в мелодраме «Алёшкина любовь». Быкова очень смущало, что в 32 года ему нужно изображать двадцатилетнего влюблённого романтика, но с ролью он справился превосходно.
В 1961 году Быков дебютировал в качестве режиссёра, совместно с Гербертом Раппопортом сняв короткометражку «Как верёвочке ни виться».
Первый авторский опыт Леонида Фёдоровича не привлёк внимания ни критиков, ни простых зрителей, а вот снятую им в 1963 году комедию «Зайчик» кинокритики нещадно разгромили за приземлённых героев и незамысловатый сюжет. От расстройства Быков слёг с инфарктом. После этого случая руководство «Ленфильма» не допускало его до режиссуры.
В то время Леонид Фёдорович очень избирательно подходил к выбору ролей. Он не хотел стать заложником одного образа и потому не соглашался играть героев, похожих на прославившего его Перепелицу.
В 1969 году Быков с семьёй переехал в Киев, поддавшись на уговоры руководства киностудии им. Довженко, однако обещанного ему поля для деятельности не получил, из-за чего впал в депрессию.
— Уже почти год не снимаюсь. Не хочу. Отказался от девяти сценариев. Не хочу участвовать в лживых и антихудожественных вещах. Конечно, долго не продержишься, надо выполнять план студии, — писал актёр своим друзьям.
Ещё в конце шестидесятых у Леонида Фёдоровича начала зарождаться идея фильма о бравых советских лётчиках. Он написал сценарий совместно с Александром Сацким и Евгением Оноприенко, но долго не мог получить одобрения — фильм называли приземлённым, легкомысленным и недостаточно героическим. Быков решил зайти с другой стороны: он зачитывал отрывки сценария на встречах со зрителями, неизбежно срывая аплодисменты, и со временем смог убедить цензоров, что люди хотят видеть фильм о «поющей эскадрилье». В 1974 году картина «В бой идут одни „старики“» вышла в прокат, где имела феноменальный успех.
Спустя два года Леонид Быков снял ещё один знаковый фильм о войне, «Аты-баты, шли солдаты», в котором также сыграл одну из главных ролей. Коллеги вспоминают, что Леонид Фёдорович на съёмках не жалел себя: работа не прекращалась даже в тридцатиградусный мороз, а Быков помимо обязанностей режиссёра взвалил на себя ведение переговоров с партийными чиновниками и военным начальством, а также организацию логистики. К концу работы над картиной режиссёр вновь получил инфаркт.
В конце семидесятых Быков начал работать над сатирической фантастикой. В ленте «Пришелец» Леонид Фёдорович выступал не только режиссёром и сценаристом, но и планировал сыграть главную роль, инопланетянина Глоуза.
К сожалению, этим планам не суждено было сбыться. 11 апреля 1979 года Леонид Быков погиб в автокатастрофе. Возвращаясь с дачи под Киевом, режиссёр попытался обогнать ехавший перед ним трактор, но столкнулся с идущим по встречной полосе грузовиком ГАЗ-53.
Леонид Фёдорович скончался в возрасте 50 лет. Незадолго до смерти, во время очередного приступа депрессии, он написал своим друзьям записку, в которой оставил указания относительно похорон: «Не надо цирка, называемого почестями. После этого «дерболызните», кто сколько может. А потом пусть 2-я эскадрилья врежет «Смуглянку» от начала и до конца… Вы заметили, что режиссёр я не по диплому, а по призванию? Даже свои похороны режиссирую. Спасибо и пока».