Давайте начертим квадрат со стороной, длина которой равняется 1. Как узнать, чему равняется длина диагонали этого квадрата?
Можно взять линейку и попробовать измерить эту длину вручную. Таким способом вы сможете получить значение около 1.4, точность будет зависеть от шкалы линейки.
Но я думаю все вы понимаете, что лучшим методом будет математический. Еще в школе мы проходили теорему Пифагора, которая говорит, что в прямоугольном треугольнике, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов этого треугольника.
Замечательно, воспользовавшись этой формулой, мы получим ответ, что длина диагонали равняется √2. Но чему это равняется? Мы знаем, что примерно 1.41... Но если мы хотим знать значение точно? Для этого необходимо, чтобы это число было целым, или могло быть представлено через отношение целых чисел - то есть являлось рациональным. Давайте найдем это отношение.
Предположим, что √2 равняется отношению взаимопростых целых чисел: a и b.(То есть они не могут быть сокращены, например: 3/7, 2/11...)
Далее возведем в квадрат левую и правую части. А после перенесем b к двойке.
И тут мы можем заметить одну очень интересную вещь: a в квадрате равняется 2*b^2. Если b - целое, то и b в квадрате целое, а из этого следует, что число a^2 - четное.
Если мы умножим два четных числа, то мы получим в итоге четное число (2*2 = 4, 4*8 = 32 ... ). Значит, что а - четное, то есть может быть представлено в виде : а=2с, где с - целое число. Подставим все обратно:
Проделав несложные арифметические операции мы получили, что b тоже должно быть четным числом. А если и а - четное, и b, то получается, что они не взаимопростые, и могут быть сокращены на 2. А это приводит к противоречию с первоначальным утверждением.
Делая итог, мы утверждаем, что √2 это не рациональное число. Числа такого класса, которые не могут быть представлены в виде отношения двух простых, целых чисел называются иррациональными. Они представляют собой бесконечные, десятичные, не периодические дроби.
Эти числа не возможно написать полностью. Они могут содержать в себе абсолютно все комбинации чисел. Где то может находиться ваш год рождения, или номер вашего банковского счета и вообще что угодно. Если задуматься, то одно число, которое мы записываем как просто корень из двух, может содержать в себе всю информацию о когда-либо существовавшей действительности.
Рациональные числа можно сосчитать, то есть поставить взаимо-однозначное соответствие между целыми числами и рациональными. Но вот с иррациональными такого трюка не выйдет. Множество иррациональных чисел не счетное.
На этом все. Этой статьей я хотел показать, что даже самые простые и очевидные вещи требуют доказательств. Если вам было интересно и вы узнали что то новое, то ставьте пальцы вверх! Не забывайте подписываться, если вы впервые тут. На канале есть уже много интересного для вас!