Все привыкли считать математику точной наукой, но это далеко не так: В математике много неточностей, вариативности формулировок, а кое-где и вовсе нет порядка.
Вот традиционное определение числа: Число – основное понятие математики, используемое для количественной характеристики, сравнения, нумерации объектов и их частей. В данном определении масса неточностей. Вовсе непонятно, что такое число, ибо всё смешали в одну кучу.
Что же такое число? Число – это количественная характеристика однородных предметов. Почему именно однородных? Два яблока и одна груша – это не число 3, а числа 2 и 1. Число же 3 – это уже операция сложения, то бишь сумма двух чисел.
Вот традиционное определение дроби: Дробь – это число, состоящее из одной или нескольких равных частей целого.
Без целого дробь не имеет смысла, поэтому дробь – отношение части к целому. Целое – это неизвестное переменное. Логика предельно простая. Если целое – это число 16, то одна четвёртая будет равна 4. Если же целое – число 20, то одна четвёртая будет равна 5. Именно поэтому дробь не число, а отношение части к целому.
В 1870 году Георг Кантор попытался навести порядок в математике. Он ввёл понятие множества. Математик дал следующее определение: «Множество – это многое, мыслимое как единое». Именно данное определение вызвало нарекания математиков. На наш взгляд, Кантор был абсолютно прав. 2 яблока – это множество яблок, а 1 груша – это множество груш. Какие тут противоречия и нестыковки? Да никакие. Далее объединяем множества, то есть находим их сумму или новое множество. В новое множество и сумму объединены неоднородные предметы, поэтому, во-первых, это не число, а сумма чисел, во-вторых, качественно иное множество, а именно: фрукты. Как фрукты – это однородные предметы.
Вернёмся к дробям. Более точное определение дроби звучит так: Дробь – это соотношение частей множества. Например, найдём 2/3 множества «6 клёнов». Знаменатель показывает, что множество разделено на три части: 6 : 3 = 2. Числитель показывает, что дробь содержит два раза по 1/3 = 2 + 2 = 4, то есть 2/3 от 6 будет 4. Отсюда делаем следующий вывод: дробь требует вычислений, поэтому не может быть числом. Итак, дробь – это соотношение частей множества.
Теперь обратимся к теореме Пифагора. Всем известно, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Если катеты равны 3 и 4, а гипотенуза 5 получаем: 9 + 16 = 25.
Математики утверждают, что тригонометрические тождества – это следствия теоремы Пифагора. Разберёмся, так ли это. Рассмотрим прямоугольный треугольник, вписанный в окружность.
Обратите внимание, что если будем передвигать точку Р, то будут изменяться величина угла, длина катетов AP и OA. Острый угол PОА будет стремиться стать прямым, катет AP будет стремиться стать гипотенузой, а сама гипотенуза будет оставаться неизменной. Когда точка P окажется на ординате, то прямоугольный треугольник превратится в прямую линию, катет OA исчезнет, а катет AP станет равным гипотенузе.
Поскольку синус в нашем случае – это AP делённое на ОP, то при их равенстве при делении получается частное 1.
Основное тригонометрическое тождество: sin²α + cos²α = 1
Вернемся к теореме Пифагора. Если использовать эти же числа, то синус – 3/5, а косинус – 4/5. Тогда:
действительно, основное тригонометрическое тождество есть следствие теоремы Пифагора.
Нужно сделать и другой вывод – синус – это не число, а дробь, выражающая соотношение частей множества «Прямоугольный треугольник». Строя график функции синуса, выстраивают прямоугольные треугольники. Синус угла прямоугольного треугольника в 30 градусов всегда будет выражаться дробью ½. А вот числовое выражение противолежащего катета будет зависеть от периметра прямоугольного треугольника.
Итак, дроби, синусы, косинусы, тангенсы, котангенсы – это вовсе не числа, а соотношения частей множества. Именно из-за неверных формулировок дети не понимают ни дроби, ни синусы.