В этой статье мне бы хотелось разобрать решение тригонометрического уравнения с теста ЕГЭ профильного уровня вариант 332 номер 13 автора Ларина А.А.
Для тех кто читал составленный мной алгоритм скажу, это как раз такой случай когда все пойдет немного не по плану. Давайте посмотрим, с чего же нам начать.
Первое - это в любом случае начинаем с проверки ограничений , нужно ли здесь расписать ОДЗ? Ответ :да, конечно, здесь есть знаменатель, еще и тангенс в прибавку.
Заметим, что в числителе также будет тангенс после раскрытия скобок, поэтому котангенс в ОДЗ мы не рассматривали.
После того, как мы расписали ОДЗ, приступаем к упрощению вида уравнения. Начнем с раскрытия скобок. Здесь мы видим формулу приведения, при раскрытии получим тангенс икс.
Дальше можно пойти разными способами: я предлагаю использовать свойство пропорции (произведение крайних членов пропорции равно произведению средних) ну или как все любят называть - "крестиком".
Что же нужно сделать еще? Лично мне не нравится здесь аргумент у косинуса в квадрате. Мы ведь можем его расписать используя формулу половинного угла (лучше выучить их):
Далее раскрываем скобки:
Теперь я вижу, что 5 тангенс икс можно взаимоуничтожить, а в произведении 5 косинус икс тангенс икс, я могу расписать тангенс как отношение синуса икс к косинусу икс:
Далее мы сократили косинусы и мне показалось, что числа лучше перекинуть в правую часть уравнения. Вот, что у нас осталось:
Думаю здесь не обойтись без введения дополнительного угла. Кто забыл:
Но думаю сначала избавимся от пятёрок, разделим все на 5:
А вот теперь, разделим обе части уравнения на корень из суммы квадратов единиц:
Далее избавимся от корней в знаменателе (домножив все дроби на корень из двух):
Ничего вам теперь не напоминает? А если подумать....
Точно... это же косинус разности. :)
Просто здесь мы используем формулу задом наперед - так скажем, чаще мы используем эти формулы наоборот. Итак применим ее, вспомнив, что корень из двух деленный на два - это значения синуса , а также косинуса пи на 4.
Далее пойдем от аргумента икс плюс пи на 4, получим:
Далее перенесем радианы в правую часть:
Всё, уравнение решено, по ОДЗ ничего убирать не нужно, остается сделать отбор корней :)
Приступим к отбору: наш промежуток от минус двух Пи до минус 3 Пи/2:
Рисуем окружность и наносим точки промежутка, они у нас выколотые:
Теперь нам нужно найти наши интересные точки :) Давайте ориентироваться от Пи/4 , к ней прибавляется и отнимается дуга размера 3 корня из 2х деленная на 5. Найдем примерно эту точку на косинусе:
Я сравнила с значением которое соответствует косинусу 30 градусов, получается, эта дуга будет чуть больше 30 градусов, сколько точно нам здесь не важно знать.
Так как промежуток у нас отрицательный , найдем чему равна Пи/4 на этом промежутке:
Ну и дальше все должно быть понятно, раз дуга немного больше 30 градусов, то мы сможем ее и прибавить и отнять , она все равно не уйдет за пределы нашего промежутка:
Значит и ответ под буквой Б) будет простой:
Вот и все :)
Согласна уравнение не самое простое, но надеюсь я смогла объяснить вам его доступным и простым языком. Если что то непонятно, задавайте вопросы, с удовольствием отвечу на них :) Или может быть у вас есть какое то сложное, интересное уравнение - пишите, разберём :)