Число ℮ = 2,718… – это основание натурального логарифма, и, пожалуй, самая «популярная» математическая константа (наряду с числом π = 3,14…) в точных науках и технике. Иногда число ℮ называют числом Эйлера или числом Непера. Число ℮ – трансцендентное число, то есть в частности оно является иррациональными не может быть выражено отношением между целым и натуральным числом (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …).
Есть много самых разных способов (формул) для вычисления числа ℮ (скажем, его первых 15-ти цифр), среди которых одним из простейших является сумма такого бесконечного ряда:
℮ = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + 1/6! + 1/7! + …, (1)
где в знаменателе каждого слагаемого (их бесконечно много) стоят факториалы (на это указывает символ «!») натуральных чисел: 0! ≡ 1 (то есть «равно» согласно нашему определению); 1! ≡ 1; 2! ≡ 1∙2; 3! ≡ 1∙2∙3; 4! ≡ 1∙2∙3∙4; 5! ≡ 1∙2∙3∙4∙5; … . Ряд (1) быстро сходится к числу ℮: уже пятое слагаемое (1/4!) дает нам первую верную цифру после запятой (2,7); шестое слагаемое (1/5!) дает вторую цифру (2,71); седьмое слагаемое (1/6!) дает третью цифру (2,718); (так и далее идет линейное нарастание точности?).
Цифры после запятой в числе ℮ – являются предметом вычислений на современных ЭВМ. На протяжении последних десятилетий в мире ведутся гонки между университетами, учёными и научными центрами, чтобы вычислить как можно больше цифр. Так, на сайте НАСА приводятся первые 2 миллиона десятичных цифр числа ℮, а также помеченные как «непроверенные» первые 5 миллионов и первые 10 миллионов его цифр (кстати, в википедии приведено «всего лишь» 1000 первых цифр числа ℮).
Предполагается, что ℮ – нормальное число, то есть частота появления разных цифр (0, 1, 2, 3, 4, …, 9) в его записи одинакова. На 2017 год эта гипотеза не была доказана (а на 2020 год?). При этом число ℮ является вычислимым числом, то есть оно может быть вычислено с любой заданной точностью с помощью алгоритма (и таких алгоритмов может быть много разных).
Почему так важны достоверные цифры после запятой у числа ℮? Да хотя бы уже потому, что у числа ℮ каждая новая цифра… «генерирует» очередное натуральное число! Эту удивительную истину автор случайно открыл для себя 12.12.2020 (а вот теории чисел или кому-то ещё из людей данная истина известна?). Опишу суть своего открытия в части числа ℮.
12.12.2020 автор впервые случайно увидел на Яндекс.Дзен такую рекуррентную формулу (с некой числовой константой F1, про которую говорится ниже, после формулы 3):
Fn+1 = [Fn]∙(Fn – [Fn] +1), (2)
где индекс n = 2, 3, 4, 5, 6, … (бесконечный ряд натуральных чисел), а вот квадратные скобки ([…]) означают так называемую функцию антье (или, говоря более современным математическим языком, функцию «пол»), которая округляет вещественное число Fn до ближайшего целого в меньшую сторону (поэтому «пол», а не «потолок»). Например, если F2 = ℮, то тогда [F2] = [2,718…] ≡ 2, то есть функция антье просто отбрасывает все цифры после запятой у вещественного числа Fn (сколь бы большим оно не было).
Так вот, если в качестве числовой константы F1 взять число ℮, то рекуррентная формула (2) будет «генерировать» натуральный ряд (ну почти!): беря антье всех вычисляемых нами значений (F1, F2, F3, F4, …) – мы получаем бесконечный натуральный ряд:
F2 = ℮ = 2,71828182845905 (автор, работая всего лишь в программе «Excel», брал только 14-ть достоверных цифр после запятой у числа ℮); F3 = 3,437…; F4 = 4,310…; F5 = 5,239…; F6 = 6,194…; …; F18 = 18,007…; … . Однако уже F19 нельзя точно (правильно) вычислить по формуле (2) в стандартной программе «Excel» (с которой работал автор). При этом относительная погрешность ОП ≡ (Fn – n)/n получаемых нами по формуле (2) вещественных значений Fn (относительно соответствующих натуральных чисел n = 2, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …) описывается такой эмпирической формулой:
ОП < 2/n2. (3)
При этом автор полагает, что, скажем, программа НАСА (которая упоминалась чуть выше) могла бы по нашей рекуррентной формуле (2) правильно вычислить как минимум до F2000000, то есть могла бы «сгенерировать» 2 миллиона первых (почти) натуральных чисел (в смысле, указанному выше).
Уверенность автора в части выше сказанного базируется на том, что математиками уже доказан (?) не менее поразительный факт: математическая константа F1 = 2,92005097731599… (даже в википедии её пока нет?), работая по рекуррентной формуле (2), будет «генерировать» ряд простых чисел (ну почти!): беря антье всех вычисляемых значений (F1, F2, F3, F4, F5, F6, …) – мы получаем бесконечный ряд простых чисел (Р = 2, 3, 5, 7, 11, 13, … – все они имеют только два целых делителя: 1 и само число Р):
F1 = 2,92005097731599… (автор, работая всего лишь в программе «Excel», брал только 14-ть достоверных цифр после запятой у константы F1); F2 = 3,840…; F3 = 5,520…; F4 = 7,602…; F5 = 11,211…; …; F13 = 41,020…; … . Однако уже F14 нельзя точно (правильно) вычислить по формуле (2) в стандартной программе «Excel» (с которой работал автор). При этом относительная погрешность ОП ≡ (Fn – Pn)/Pn получаемых нами по формуле (2) вещественных значений Fn (относительно соответствующих простых чисел Pn) описывается такой эмпирической формулой:
ОП ≈ 0,5/exp(0,5∙n). (4)
При этом весьма примечательна формула, по которой вычисляется сама константа F1 = 2,92005097731599…, поскольку эта формула (бесконечная сумма) напоминает нам формулу (1):
F1 = (2 – 1)/1! + (3 – 1)/2! + (5– 1)/3! + (7 – 1)/5! + …, (5)
где у каждого слагаемого в числители стоит очередное простое число (Fn), уменьшенные на единицу (Fn – 1), а вот в знаменателе стоит соответствующий праймориал (на это указывает символ «!»), то есть это как бы факториал, но только из простых чисел: 2! ≡ 2; 3! ≡ 2∙3; 5! ≡ 2∙3∙5; 7! ≡ 2∙3∙5∙7; … (в праймориале перемножаются все первые простые вплоть до простого числа, стоящего под символом «!» слева от знака равенства «≡»).
«Тёмное место» (которое автор пытается хоть как-то объяснить). В первом слагаемом формулы (5) стоит факториал единицы (1! ≡ 1), то есть в данном случае единица (Р = 1) принимается за простое число (и это иногда допускается в рамках теории чисел– весьма сложного раздела высшей математики). Однако нулевое слагаемое (1 – 1)/0! = 0/1 = 0 мы всё-таки опускаем (не пишем в формуле 5), поскольку ноль (в отличие от единицы) уже никак не может быть простым числом, ибо ноль делится на все натуральные числа (кроме нуля, ведь 0/0 – это уже неопределенность).
Любопытно, что полусумма двух наиболее известных констант: (℮ + π)/2 = (2,718…+ 3,14…)/2 = 2,92993724102442… – всего лишь на 0,009886… (то есть только на 0,34 %) больше константы F1 = 2,92005… (о которой говорилось в данной статье).
Про число π = 3,14…, «зашитое» в Пирамиду делителей (см. рис. «Пирамида делителей» в начале данной статьи)
Ещё весной 2001 г. автор обнаружил число π (точнее говоря, π^2/6 = 1,644 934 066 848 23...) в мире натуральных чисел: это число оказалось, как бы «зашитое» самим Творцом в Пирамиду делителей (а позже автор доказал этот факт и аналитически). Причем ни в теории чисел, ни в википедии подобного результата автор не нашел даже в декабре 2020 года. В двух словах суть данного открытия сводится к следующему.
Пусть S – это сумма всех натуральных чисел на отрезке [1; N], при этом S ≈ N^2/2 (для N>> 1; фактически, S – это площадь плоской Пирамиды); и пусть D – это сумма всех целых делителей у всех натуральных чисел на том же отрезке (D – это, образно говоря, суммарная "масса" всех чёрных "камней" в Пирамиде высотой N). Тогда отношение D/S устремляется к числу π^2/6 (по мере роста N – правой границы указанного отрезка). Например, уже при N = 10^9 автор получил D/S = 1,644 934 065548 (здесь верно найдены первые 8 цифр после запятой, мой ПК считал это ровно 3 часа в программе Mathcad-2000). Подробней см. у автора "ВКонтакте" в его сообществе "Числофизика" книгу (2002 г.) "Параллельные миры II...", гл. 1.4, закон 10.
14.12.2020, Санкт-Петербург
© А. В. Исаев, 2020