Математика начинается с чисел. Считать и записывать числа люди научились давно. Вначале это были зарубки или насечки на дереве. Позднее появились более сложные обозначения.
В Древней Греции использовался алфавит – каждой букве присваивалось определенное числовое значение. Таким же образом записывались числа в Древней Руси. Над буквой, обозначавшей в тексте число, проставлялся знак. Называли его «титло».
У римлян были свои цифры. Мы пользуемся ими до сих пор, в основном для обозначения дат.
Понятно, что производить элементарные математические действия с подобными числами – задача не из легких. Считали на пальцах, позднее изобрели специальные счеты – абак, в которых использовали косточки или камешки, калькули. От этого слова произошла «калькуляция» и «калькулятор».
В современной математике используются цифры, условно называемые «арабскими». Европейцы познакомились с ними только в ХII веке, благодаря переводу на латынь трактата «О числах и действиях с ними» арабского ученого Аль-Хорезми (полное имя – Аль-Хорезми Мухаммед бен Муса), жившего в конце YIII – первой половине IX веков в средневековом Хорезме. В этом сочинении был изложен индийско-арабский способ счета, основанный на десятичной позиционной системе счисления. От всех прочих доселе известных европейцам он отличался наличием нуля, то есть числа, обозначавшего отсутствие предмета счета.
Нуль дал возможность записывать числа таким образом, что одна и та же цифра в зависимости от места (разряда числа) в записи могла обозначать разные величины.
Для начала вспомним, что такое разряд числа. В десятичной системе счисления это – единицы, десятки, сотни, тысячи, десятки тысяч и т.д. При записи числа каждый разряд занимает свою позицию. Единицы – крайнюю справа, далее справа налево идут десятки, затем сотни, тысячи и т.д.
Возьмем любое число, например, 382. Оно состоит из 3-х сотен, 8-ми десятков и 2-х единиц. Цифра 3 в данной записи занимает позицию сотен и, следовательно, обозначает число 300, восьмерка в позиции десятков – восемьдесят и только двойка равна себе самой.
Спрашивается, как записать в такой системе число, в котором нет какого-то из разрядов? Например, триста два? В числе три сотни и две единицы. В десятичной системе это число будет выглядеть так: 302. На месте отсутствующих десятков мы поставили 0. Это означает, что в числе 302 их нет.
Позиционная система записи чисел с нулем оказалась очень удобной, и с ХII века «арабские» цифры прочно вошли в европейскую науку.
Интересные свойства нуля
Нуль оказался числом необыкновенным, стоящим особняком в ряду себе подобных, – не натуральное, не положительное и одновременно не отрицательное, – хотя не все с этим согласны. Есть мнение, что ноль – число положительное и натуральное. Единственное, в чем математики пришли к консенсусу относительно нуля, – это утверждение, что ноль – число целое и четное.
С нулем возможны все арифметические действия, кроме деления. Нули можно складывать, ноль можно вычитать, на ноль можно умножать – всё, кроме строгих неравенств. Кстати, если кто-то из ваших недоброжелателей обещает умножить вас на ноль, отнеситесь к этому серьезно – вас обещают уничтожить, поскольку произведение, в котором один из множителей нуль, всегда равно нулю.
Ноль можно делить, а вот делить на него в математике категорически запрещено. Попробуем разобраться, почему так.
Разделить на нуль? Это как? Тут любой впадет в ступор. Но в математике любая самая очевидная нелепость – не аргумент. Возможно всё – сумели же математики возвести число в нулевую степень, хотя, услышав это, хочется, отгоняя наваждение, потрясти головой.
Ну и как они это сделали?
Все просто. Для вычисления математики использовали правило умножения степеней с одинаковыми основаниями. Напоминаю, что степенью числа называют умножение одинаковых чисел. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются.
То есть,
Предположим, что степень одного из множителей равна 0.
Мы получили произведение, равное одному из множителей. Это возможно только в том случае, если второй множитель – единица. Таким образом, любое число «а», возведенное в нулевую степень, равно единице.
Попробуем разобраться с делением. Для начала вспомним, что деление – это арифметическое действие, обратное умножению и производное от вычитания (о делении как вычитании читать здесь).
Если умножение – это сложение одинаковых чисел, то деление – это вычитание таких же чисел. Отсюда – мы можем записать деление в виде вычитания.
Например, попробуем 18 разделить на 6.
В виде вычитания это будет выглядеть следующим образом: 18 – 6 – 6 – 6 = 0.
Делитель 6 уложился в делимом 18 три раза. Значит 18 / 6 = 3.
Заменим делитель 3 на 0: 18 – 0 – 0 – 0 – 0 …
Вычитать 0 из любого числа можно бесконечно долго, уменьшаемое при этом не уменьшается ни на йоту. Не хочет число делиться на 0, и всё тут. Очевидно, что на место делимого можно поставить любое другое число. Результат при этом не изменится.