Предыдущий урок: Физика для чайников. Урок 26. Колебания и волны. Механические колебания
На уроке Физика для чайников. Урок 26. Колебания и волны. Механические колебания мы познакомились с пружинным и математическим маятником. Вспомним, что на грузик, прикрепленный к пружине, действует сила, стремящаяся вернуть его в состояние равновесия:
Учитывая, что сила действует в направлении, противоположном направлению смещения, запишем:
Или
Но ускорение – это первая производная от скорости, а скорость – первая производная от расстояния. Тогда ускорение – это вторая производная от расстояния и мы можем записать:
Решить данное уравнение нам поможет тот факт, что гармоническая функция (синус или косинус) пропорциональна ее второй производной со знаком минус. Никакая другая функция таким свойством не обладает. Таким образом, решением данного дифференциального уравнения является гармоническая функция:
где xм– амплитуда колебаний, закорючка (называется омега) с ноликом – некоторая постоянная величина, не зависимая от времени и показывающая, насколько часто происходят колебания, t – это время.
Тогда первая производная (скорость) выражается формулой:
А вторая (ускорение):
Подставим вместо cos(….) значение x из формулы (27.5), получим
И, по сути мы получаем формулу (27.1), если предположить что
Тогда
Теперь поговорим о физическом смысле омеги с ноликом.
Колебания у нас циклические, каждый цикл длиться определенное время, называемое период колебаний и обозначаемое буковкой T. Частота колебаний – обратная величина:
Синус и косинус – функции периодические, и их период равен удвоенному числу пи (пи примерно равно 3.14). Тогда
Или:
Таким образом, омега с индексом нуль – это число колебаний за период 2 Пи секунд.
Ну, и напоследок, график гармонического колебания:
Следующий урок: Физика для чайников. Урок 28. Колебания и волны. Резонанс