Пошаговая инструкция к решению тригонометрических уравнений №13 ЕГЭ ПРОФИЛЬ
Тригонометрия -одно слово вызывает страх у некоторых учеников, а если уж говорить о тригонометрических уравнениях так здесь начинается паника.
В своей практике я столкнулась с тем, что многие стараются обходить тригонометрию стороной, часто слышу такие фразы от новых учеников : "Да я и без нее баллы наберу", " Только не тригонометрия", "Вообще не понимаю ее" и так далее...
В чем же сложность? На самом деле ничего такого сверхъестественно сложного тут нет, все дело в объяснении. В этой статье я хочу поговорить именно об уравнениях, которые встречаются в 13 номере ЕГЭ профильной математики.
За время работы я составила некоторый алгоритм решения таких уравнений, с которым хочу поделится с вами, надеюсь кому то окажется полезным. Итак начнем:
1) Проверим уравнение на ОДЗ (область допустимых значений) Подробнее об ОДЗ в отдельной статье на моем канале https://zen.yandex.ru/profile/editor/id/5fd08c625ca1e3739e55fad6/5fd12238fd905858646b5a39/edit.
В каких случаях в тригонометрических уравнениях она будет:
- Есть корень чётной степени, под которым находится переменная (неизвестное к примеру Х);
- Есть знаменатель, содержащий переменную;
- Есть тангенс или котангенс.
2) Переносим все в левую часть уравнения (приравниваем к нулю).
Тут думаю все понятно, самое главное не забываем менять при переносе знаки на противоположные.
3) Если есть скобки, раскрываем их.
Здесь используем либо формулы приведения, либо формулы синусов или косинусов разности или суммы)
4) Проверяем везде ли одинаковые аргументы.
Если аргументы разные, то расписываем по формулам, как правило - это формулы двойных углов.
5) Выбираем способ решения нашего уравнения:
- Разложение на множители
Тут нам поможет вынесение общего множителя за скобки, способ группировки, а также любимые формулы сокращенного умножения. Очень часто приходится расписывать единицу через основное тригонометрическое тождество).
- Замена переменной
А здесь очень важно написать ограничения для новой переменной, не забываем при замене синуса и косинуса, новая переменная должна находится в пределах от минус одного до одного включительно. А если заменяем квадрат, то помним, что он не может быть меньше нуля.
- Приводим к тангенсу. Делим на косинус, либо косинус в нужной степени
Этот способ используется в однородных уравнениях. Это такие уравнения где косинус и синус будут в одной степени и не будет никаких чисел (свободных членов) кроме нуля.При делении мы получаем тангенс и решаем уравнение уже относительно него. Но не забываем, если мы написали, что делим на косинус, пишем, что он не равен нулю, это важно.
Это основные способы, конечно есть исключения из правил (я называю их интересные уравнения) их я рассмотрю в отдельной статье.
В итоге после разложения на множители, либо произведя обратную замену получаем простейшие тригонометрические уравнения. Остается вспомнить тригонометрический круг (кстати о том как проще его запомнить я расскажу в отдельной статье) и написать чему же равна наша неизвестная. Не забываем приписки к корням в виде 2 "ПиКа" или просто "ПиКа" (2 Пика -корень повторяется через целый круг; ПиКа - корень повторяется через пол круга). Смотрим удовлетворяют ли наши решения ОДЗ и оставляем только подходящие корни.
Что же еще нужно сделать? Если мы хотим получить 2 балла за этот номер, обязательно делаем задание под буквой Б)
А в нем мы делаем отбор корней либо по окружности, либо в виде двойного неравенства (об этом в статье "Отбор корней номер 13")
Не забываем все хорошенько проверить на несколько раз и только потом записать решение в экзаменационный бланк.
Вот такой небольшой алгоритм получился, надеюсь с ним вам станет проще решать тригонометрические уравнения.
И добавлю сюда пример решения по данному алгоритму, что бы все стало еще понятнее :)
Пишем ответ: