#хакнем_математика 👈 рубрика, содержащая интересный, познавательный контент по математике как для школьников, так и для взрослых 🥳
СУММА ЦИФР ВСЕХ ЧИСЕЛ от 1 до 1 000 000
Здравствуйте, уважаемые читатели канала Хакнем Школа!
Эта статья появилась в ответ на предложение Михаила ЛЕВИ, сделанное им в комментарии к статье: «Необычный способ решения задач "короля математиков" Карла Гаусса, который он придумал в 7 лет».
Мне думается, что нахождение суммы цифр всех чисел от 1 до 1 000 000 будет интересно многим школьникам (и, надеюсь, не только им) — это, во-первых, ну а, во-вторых — само нахождение этой суммы при подробном изложении не укладывается в объём комментария, хотя надо отметить, что автор нередко «грешит» объёмностью своих ответов на комментарии к его статьям.
Однако, пора приступить к нахождению нужной суммы…
Для начала отметим, что натуральные числа обладают некоторой особенностью — каждое число совпадает по своему значению с номером его позиции в ряду ℕ (в последовательности натуральных чисел).
Заметим, что сумма цифр в записи числа 1 000 000 (миллион) равна 1 (единице). Поэтому рассмотрим для начала сумму цифр всех чисел от 0 до 999 999.
Разместим (фрагментарно) миллион первых чисел, включая и число 0 (ноль)в следующей таблице — это поможет нам разобраться в последующих рассуждениях.
РЕШЕНИЕ
способ I
Сумма десяти первых цифр в разряде единиц составляет 0+1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45, и число таких десятков среди миллиона чисел равно 1 000 000 : 10 = 100 000 (деление «по»), ну а сумма всех цифр, стоящих в разряде единиц всех этих чисел равна
45 × 100 000 = 4 500 000. (1)
В разряде десятков каждая цифра в каждой сотне чисел повторяется 10 раз, а число таких сотен среди миллиона чисел равно
1 000 000: 100= 10 000. Значит, сумма всех цифр и в этом случае равна
45 × 10 000 × 10 = 4 500 000. (2)
Далее аналогично (не повторяя рассуждений и промежуточных вычислений) находим:
Сумма цифр в разрядах сотен равна
45 × 1000 × 100 = 4 500 000 (3)
Сумма цифр в разрядах тысяч равна
45 × 100 × 1000 = 4 500 000 . (4)
Сумма цифр в разрядах десятков тысяч равна
45 × 10 × 10 000 = 4 500 000. (5)
Сумма цифр в разрядах сотен тысяч равна
45 × 100 000 – 99 999 = 4 500 000 (6)
Найдём заданную сумму как сумму цифры 1 из разряда миллионов с суммой одинаковых слагаемых от (1) до (6), выраженную соответствующим произведением:
1 + 4500000*6 = 1 + 27 000 000 = 27 000 001.
ОТВЕТ. 27 000 001
Отметим, что существуют по крайней мере два способа упростить вычисления: идею одного из них предложил в своём ответе на предложение Михаила Леви — Николай Нагибин, ну а другой основан на идее Карла Гаусса.
РЕШЕНИЕ
способ II («по Гауссу»)
Найдём сумму цифр всех целых чисел от 0 до 999 999, к которой впоследствии прибавим сумму цифр в числе 1 000 000 (миллион).
Сложим сумму цифр первого числа 0 с суммой цифр последнего 999 999, сумму цифр второго числа 1 с суммой предпоследнего 999 998, сумму цифр третьего числа 2 с суммой цифр предпредпоследнего 999997 и так далее, вплоть до суммы цифр пары 499 999 и 500 000:
0 + 54 = 1 + 53 = 2 + 52 = … = 49 + 5 = 54.
Всего таких пар 500 000, поэтому (вспомним про число миллион):
1 + 54 × 500 000 = 1 + 27 000 000 = 27 000 001.
РЕШЕНИЕ
способ III (по идее Н. Нагибина)
В вышеприведённой таблице размещено 6 000 000 (шесть миллионов цифр, среди которых каждая из 10 (десяти) цифр встречается одинаковое число (6 000 000:10 = 600 000) раз, поэтому их сумма равна (поскольку
0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45)
45 × 600 000 = 27 000 000, Вспомним про число миллион,
сумма цифр которого равна 1. Значит, сумма цифр всех чисел
1 до 1 000 000 равна 27 000 000 + 1 = 27 000 001.
Если вам было интересно, не забудьте подписаться на наш канал и хэштег #хакнем_математика
Читайте наш канал в телеграм - по этой ссылке
Автор: #себихов_александр 71 год, много лет проработал конструктором-технологом микроэлектронных приборов и узлов в одном из НИИ г. Саратова, затем преподавателем математики и физики.
Другие статьи автора:
- Математический концерт
Партнёрский материал от "Tinkoff Junior" для подписчиков канала "Хакнем Школа" 👇:
Карта, обучающая ребёнка финансовой грамотности!
🆓 Бесплатное обслуживание на всё время (при оформлении по этой ссылке);
🧮 Обучает ребёнка копить деньги и анализировать траты;
Приложение позволяет:
💸 Проверить, на что ребёнок тратит деньги;
🏆 Назначить награду, например, за уборку в комнате;
🛍 Установить лимиты на покупки;
👨💻 Читать интересные истории о финансовой грамотности.
Родителям:
Если вы не являетесь клиентом Тинькофф, то вместе с детской картой Junior, вам привезут дебетовую карту Tinkoff Black.
Бонус для подписчиков «Хакнем Школа»:
При оформлении детской карты — карта Tinkoff Black будет с бесплатным обслуживанием (стандартная стоимость обслуживания - 99 руб./мес.)