#хакнем_математика 👈 рубрика, содержащая интересный, познавательный контент по математике как для школьников, так и для взрослых 🥳
Здравствуйте, уважаемые читатели!
Предлагаю рассмотреть задачу, случившуюся несколько дней назад на контрольной работе по математике в 5-ом классе… у моей внучки.
Предыстория
В прошлый понедельник внучка-пятиклассница «обрадовала»:
На завтра домашнего задания нет — была контрольная!
— Знаешь, что получила?
— Четыре... Догадываешься почему? Одну задачу не решила…
— Условие помнишь?
— Да.
— Ну так, давай!
— Сейчас… «Каким число нулей заканчивается произведение всех натуральных чисел от 41 до 63 включительно?»
Честно говоря, содержание этой задачи вызвало у меня некоторое недоумение, поскольку оно, на мой взгляд, никак не вписывается в тематику используемого в этом классе учебника: разложение чисел на простые множители будет проходиться только в 6-ом классе. Однако, давайте посмотрим на задачу…
ЗАДАЧА. Каким числом нулей заканчивается запись результата произведения всех натуральных чисел от 41 до 63 включительно?
Думаю, что многие из вас легко справятся с этой задачей, ну а я постараюсь разъяснить её для пятиклассников. Идея решения достаточно проста: каждый ноль, которым заканчивается запись произведения нескольких сомножителей образуется произведением чисел 5 и 2.
РЕШЕНИЕ
Каждое пятое число, считая от числа 1 (единица) можно представить в виде произведения числа 5 с каким-нибудь другим натуральным числом, например:
5 = 5 × 1, 10 = 5 × 2, ... , 60= 5 × 12.
Среди первых 63 натуральных чисел таких чисел 63 : 5 = 12 (ост. 3).
Каждое 25-ое число, даёт ещё одну пятёрку, и таких чисел
63 : 25 = 2 (ост. 13): 25 = 5 × 5 и 50 = 5 × 5 × 2.
Таким образом, в числе сомножителей появляется 12 + 2 = 14 чисел 5. Очевидно, что чисел, которые можно представить произведением числа 2 на какое-либо другое натуральное число, значительно больше:
63 : 2 = 31 (ост.1) и это не считая чисел, которыми можно представить произведение чисел 4, 8, 16, 32, …, каждое из которых, даёт, как минимум, ещё по одному сомножителю 2.
Тогда среди произведения первых 63 натуральных чисел можно выделить всего 12 + 2 = 14 пар сомножителей, каждая из которых даст цифру 0 (ноль) в окончание записи произведения этих чисел.. Значит, эта запись заканчивается 14-тью (четырнадцатью) нулями.
Аналогично подсчитаем число нулей, заканчивающих запись результата произведения первых 40 (сорока) натуральных чисел.
40 = 5 × 8, 25 = 5 × 5 => 8 + 1 = 9; 40 = 2 × 20 >9.
Запись результата произведения первых 40 (сорока) натуральных чисел заканчивается 9 (девятью) нулями. Очевидно, что этих 9 нулей не будет в записи результата произведения всех натуральных чисел от 41 до 63 включительно — значит, эта запись заканчивается 14 – 9 = 5 — пятью нулями.
ОТВЕТ. Числом 5.
Автор: #себихов_александр 71 год, много лет проработал конструктором-технологом микроэлектронных приборов и узлов в одном из НИИ г. Саратова, затем преподавателем математики и физики.
Другие статьи автора:
